Выявление общей тенденции развития процентных ставок: построение тренда, циклические и сезонные колебания.

Анализ движения процентных ставок и проверка их колебаний на случайность позволяют определить общую тенденцию развития показателя во времени с помощью построения трендовых моделей. Построение тренда состоит в аналитическом выравнивании эмпирических данных с целью сглаживания колебаний значений признака. Полученная таким образом общая тенденция развития явления трактуется как эволюционное изменение показателя во времени, свободное от воздействия случайных колебаний.

Для определения основной тенденции развития явления во времени используют различные аналитические функции. С помощью математических методов подбирается такое уравнение тренда, которое максимально точно отображает изменение показателя во времени и обеспечивает близость значений эмпирических и выравненных данных. На практике чаще всего используют следующие аппроксимирующие функции:

· Линейная: y^_t = a₀ + a₁*t;

· Гипербола: y^_t = a₀ + a_1/t;

· Показательная: y^_t = a₀ * a₁^t;

· Степенная: y^_t = a₀ *t^a₁;

· Парабола второго порядка: y^_t = a₀ + a₁*t + a₂*t² ,

где t – период времени;

a₀, a₁, a₂ – параметры уравнения.

Пример 4. Построим линейный тренд процентных ставок по депозитам физических лиц на основе статистических данных за 1999-2000 года.[72] Мы берем достаточно старые данные, т.к. за последующие годы не было устойчивой тенденции снижения уровня процентных ставок, а присутствовали периодические колебания, что нас не устраивает.

Таблица 8 - Процентные ставки по депозитам физических лиц за 1999-2000 года

Первым этапом построения тренда является выбор типа аналитической функции. В нашем примере основанием для применения линейного уравнения в качестве трендовой модели является существующая тенденция снижения уровня процентных ставок без наличия каких-либо осциллятивных колебаний.

Вторым этапом является поиск значений параметров уравнения. Параметры трендовых моделей определяются с помощью системы нормальных уравнений. В случае применения линейного тренда используют систему уравнений, которую решают способом наименьших квадратов:

∑y = a₀ + a₁*∑t;

∑yt = a₀∑t + a₁*∑t².

Процесс поиска параметров тренда существенно упрощается, если данную систему уравнений решать исходя из того, что ∑t_i = 0. В этом случае значения параметров можно найти следующим образом:

a₀ = ∑y_i / n; (14)

a₁ = ∑y_it_i / ∑t_i². (15)

Таблица 9 - Необходимые данные для поиска параметров тренда

Параметры уравнения тренда равны: a₀ = 10,1; а₁ = -1,04.

Следовательно, тренд можно рассчитать по формуле: y^_t =10,1-1,04t.

Определим выравненные данные ставок по депозитам физических лиц:

y_-7 = 10,1-1,04*(-7) = 17,38;

y_-5 = 10,1-1,04*(-5) = 15,3;

y_-3 = 10,1-1,04*(-3) = 13,22;

y_-1 = 10,1-1,04*(-1) = 11,44;

y₁ = 10,1-1,04*1 = 9,06;

y₃ = 10,1-1,04*3 = 6,98;

y₅ = 10,1-1,04*5 = 4,9;

y₇ = 10,1-1,04*7 = 2,82.

Рисунок 2 – Зависимость процентных ставок по депозитам физических лиц за 1999-2000 гг. и линии тренда

Используя метод аналитического выравнивания, мы можем определить параметры тренда, а далее с помощью построенного графика мы можем наглядно выразить тенденцию изменения, а именно тенденцию уменьшения, уровней процентных ставок по депозитам физических лиц за 1999-2000 гг., а также показать отклонение от этой тенденции, если оно присутствует (в нашем примере его нет).

Для того чтобы получить максимально точный результат аналитического выравнивания эмпирических данных, характеризующих уровень процентных ставок, строят несколько трендовых моделей с применением различных аппроксимирующих функций. Далее фактические и теоретические данные наносят на график и получают информацию о том, какая из выбранных функций наиболее реально отражает общую тенденцию развития исследуемого показателя.

С целью окончательного выбора формы тренда сопоставляют показатели вариации (дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации) эмпирических данных относительно выравненных уровней ряда динамики. Оптимальной формой тренда является функция, которая имеет минимальные значения показателей вариации по отношению к фактическим данным.

При анализе долгосрочных динамических рядов процентных ставок для построения тренда сложно подобрать какую-то одну аналитическую функцию, так как в разные периоды времени могут происходить значимые события в политической и экономической жизни общества, которые коренным образом изменят тенденцию развития уровня ссудных процентов. В таких случаях выравнивание эмпирических данных целесообразно осуществлять в рамках более коротких периодов времени, когда объект изучения развивается относительно закономерно.

Значения показателей вариации, которые рассчитывают для уточнения формы тренда процентных ставок, могут оказаться достаточно высокими (например, коэффициент вариации составляет 35% и более), что свидетельствует о широкой амплитуде колебаний уровней фактических данных относительно выравненных. Это позволяет предположить, что динамика показателя складывалась под воздействием различных факторов, в том числе циклических, сезонных и случайных.

Изменение стоимости ссудных средств во времени может быть обусловлено влиянием различных факторов, в том числе эволюционного и осциллятивного характера. Кроме того, в процессе анализа динамики процентных ставок следует учитывать нерегулярные колебания, которые могут возникнуть в результате спорадически наступающих событий (война, чрезвычайные события и т.д.) и случайных колебаний, вызванных действием большого количества несущественных факторов.

Влияние эволюционного фактора проявляется в общей тенденции развития и характеризуется с помощью различных трендовых моделей, а осциллятивного фактора – в циклических (конъюнктурных) и сезонных колебаниях и определяется с помощью различных статистических методов. Циклические колебания состоят в том, что значение признака в определенный период времени возрастает, достигает максимума, затем снижается и достигает минимума, вновь возрастает до прежнего значения и т.д. Циклические колебания в экономике приблизительно соответствуют циклам конъюнктуры, т.е. характеризуют спад и подъем производства. Сезонные – это устойчивые, периодически повторяющиеся внутригодовые (внутримесячные, внутридневные) колебания.

В связи с тем, что циклические колебания отражают начало и окончание экономического кризиса, подъем экономики, зарубежные экономисты и статистики проявляют большой интерес к вопросам прогнозирования этого явления.

Целью статистического анализа циклических колебаний процентных ставок являются исследование длины циклов (продолжительность периода времени между двумя смежными пиками), их амплитуда, период запаздывания, автокорреляции в остатках ряда и другие параметры.

Если ряд динамики процентных ставок разбить на различные компоненты, то он может быть представлен следующей функцией:

y¯ = ƒ(Т, К, S, Е), (16)

где Т - основная тенденция (тренд);

К – циклические (конъюнктурные) колебания;

S – сезонные колебания;

Е – случайные колебания.

Исходя из взаимосвязи компонентов между собой, может быть построена аддитивная или мультипликативная модель ряда динамики ссудных процентов. Применение аддитивной модели предполагает, что характер циклических и сезонных колебаний остается постоянным и выражается следующей формулой:

y¯ = y_Т + y_К + y_S + y_Е . (17)

Мультипликативная модель учитывает постоянный характер циклических и сезонных колебаний только по отношению к тренду и выражается уравнением:

y¯ = y_Т * y_К * y_S * y_Е . (18)

На практике применяются различные способы исследования циклических колебаний процентных ставок, в том числе изучение вариации вокруг трендов, исключение сезонных колебаний, гармонический анализ и ряд других.

Выявление циклических колебаний осуществляют путем элиминирования тренда. Для этого рассчитывают либо разность между фактическими и выравненными данными уровней процентов (y_i – y_t^), что позволяет определить циклические колебания как составную часть остаточной вариации, либо процентные отношения фактических данных к теоретическим (y_i : y_t^), что дает возможность соотнести амплитуду циклов с уровнями тренда. Второй вариант расчета более универсален, его целесообразно применять в случае, если тренд имеет четкую тенденцию к росту или снижению. При использовании процентных отношений взаимосвязь между компонентами вариации ряда динамики определяется мультипликативной моделью.

Одним из способов определения циклических колебаний является гармонический анализ временного ряда процентных ставок, который заключается в нахождении конечной суммы уровней ряда с использованием функций косинусов и синусов времени. Каждый член ряда динамики рассчитывается как слагаемое постоянной величины с функциями косинусов и синусов определенного порядка. Таким образом, заданная периодическая функция выражается в виде ряда Фурье по гармоникам разных порядков.

Примитивный ряд динамики процентных ставок может быть выражен как:

y¯ = Asin(αt + β), (19)

где t – период времени;

А – полуамплитуда колебания, т.е. максимальное и минимальное отклонения от оси t;

β – начальная фаза колебания.

При t = 0 синусоида принимает следующий вид: y = Asinβ.

Аппроксимация динамики процентных ставок ряда Фурье заключается в подборе таких гармонических колебаний, сумма которых отражала бы периодические колебания фактических уровней процентов. Ряд Фурье дает возможность представить динамику ссудных процентов в виде функций времени, в которой слагаемые расположены по убыванию периодов времени:

y_t¯ = a₀ + ∑ (a_ksinkt + b_ksinkt). (20)

Величина k определяет гармонику ряда Фурье и определяется целым числом, как правило, в пределах от 1 до 4. Параметры уравнения находят с помощью системы нормальных уравнений способом наименьших квадратов.

a₀ = 1/n∑y; a_k = 2/n∑ycoskt; b_k = 2/n∑ysinkt. (21)

Значения t определяются от 0 с приростом, равным 2π/n, где n – число уровней ряда динамики. При n = 12 ряд динамики процентных ставок можно записать следующим образом:

Таблица 10 - Ряд динамики процентных ставок при n = 12

Более простым способом выявления циклических колебаний процентных ставок является метод скользящей средней. По скользящей средней можно выравнивать как фактические данные ряда динамики, так и их процентные отношения к тренду. Суть этого метода заключается в том, что рассчитывается средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда (как правило, трех, пяти или семи), далее – средний уровень из такого числа уровней, начиная со второго, затем – начиная с третьего и т.д.

Выравнивание фактических уровней процентных ставок методом скользящей средней осуществляется следующим образом.

1) Определяем интервал сглаживания, т.е. число уровней ряда (m), входящих в него. При этом следует учесть, что если сглаживаются мелкие, беспорядочные колебания, то интервал сглаживания максимально увеличивают, а если необходимо мелкие колебания сохранить и нивелировать периодические, то интервал сглаживания уменьшают.

2) Рассчитываем среднее значение уровней, входящих в интервал сглаживания по формуле:

y_t^ = ∑y_i / m; (22)

y_t^ = y_t-1 + [(y_t+p - y_t-p-1) / m], (23)

где y_i – фактическое значение i – го уровня;

i – порядковый номер уровня в интервале сглаживания;

р = (m - 1)/2 при нечетном m.

3) Производим передвижку интервала сглаживания на одну точку вправо и вычисляем среднее значение для t + 1 члена и т.д. В результате последовательно проведенных манипуляций получаем ряд преобразованных сглаженных уровней в количестве n–(m - 1).

4) Наносим значения эмпирических и выравненных данных на график для получения наглядного изображения циклических колебаний процентных ставок.

Пример 5. Рассмотрим уровень ставки по депозитам населения без депозитов "до востребования" за 2006 год.[73] Интервал сглаживания мы выбираем = 3, т.е. находим трехчленную скользящую среднюю. Применим в качестве оформления расчетов таблицу, что наиболее удобно в данном случае.

Таблица 11 - Ставки по депозитам населения без депозитов "до востребования" за 2006 год

Несмотря на то, что этот метод широко используется, у него имеется существенный недостаток, который мы можем наблюдать в таблице: число уровней средних сокращается на концах динамического ряда.

Циклические колебания процентных ставок проявляются более отчетливо, если предварительно исключить сезонные колебания. На практике для определения сезонных колебаний в рядах динамики применяют индексы сезонности, совокупность которых отражает сезонную волну. Для расчета сезонных колебаний берут данные за несколько лет (месяцев), распределенные по месяцам (дням). Данные за несколько периодов времени (не менее трех) используются для того, чтобы определить устойчивую сезонную волну и избежать влияния случайных факторов, которые характерны только для одного года или месяца.

В зависимости от исходной информации о фактических уровнях процентных ставок индексы сезонности рассчитываются двумя способами.

1) Если фактические уровни процентных ставок не содержат ярко выраженной тенденции в развитии за анализируемый период времени, то индекс сезонности рассчитывается непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания. В этом случае индекс сезонности определяется как отношение средней величины уровня за несколько временных периодов (например, за три года) к общей постоянной средней величине, рассчитанной за весь анализируемый период.

I_s = y_i¯/y * 100%. (24)

2) Если фактические уровни процентных ставок содержат определенную тенденцию в развитии, то фактические данные предварительно должны быть выравнены для определения общей тенденции. В этом случае индекс сезонности рассчитывается как отношение фактических данных к выравненным.

I_s = (∑y_i /y_t^ +n) * 100%, (25)

Где n – число уровней ряда.