Расчет моды и медианы.

Цель занятия: Ознакомится с различными видами и свойствами показателей вариации, способами их расчета.

Задача 3.1. На основании исходных данных о заработной плате работников и их количестве рассчитать показатели вариации.

В расчетах используются данные, приведенные в таблице 3.1.

1. Размах вариации:

R = x_max – x_min = 34,0 - 10,1 = 23,9 тыс. руб.

2. Среднее линейное отклонение:

Расчетная таблица определения дисперсии и условных моментов Таблица 3.1

Группа по зарплате тыс. руб	Численн. работников, чел.	Средняя интервала
10,1 - 13		11,5	70,658	713,222	-4	-28		-448		925,75
13,1 - 16		14,5	63,846	452,924	-3	-27		-243		1892,25
16,1 - 19		17,5	57,316	234,652	-2	-28		-112		4287,5
19,1 - 22		20,5	20,786	22,740	-1	-19		-19		7984,75
22,1 - 25		23,5	41,932	79,922						12149,5
25,1 - 28		26,5	63,778	312,895						9129,25
28,1 - 31		29,5	63,248	500,039
31,1 - 34		32,5	43,624	475,763
k = i = 3,0			425,188	2792,156		-61		-637		47556,0

5. Среднее квадратическое отклонение:

 

6. Сложение дисперсий

 

Определение количественных изменений признака по группам, на которые разбита вся совокупность, а также и между группами посредством вычисления и анализа дисперсий: общей, межгрупповой, внутригрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту вариацию:

.

Межгрупповая дисперсияхарактеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки:

, где

- соответственно средние и численности по отдельным группам,

- средняя всей совокупности.

Внутригрупповая дисперсияотражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основу группировки:

, где

- варианты групп, - численность группы, - средняя группы

Средняя из внутригрупповых дисперсийопределяется по формуле:

.

Общая дисперсия определяется как сумма средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсии:

.

Данная сумма называется правилом сложения дисперсий.

Общая дисперсия, возникает под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, возникающих под влиянием прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет группировочного признака.

Показатель тесноты связи между группировочным (факторным) и результирующим признаками называется эмпирическим корреляционным отношением и рассчитывается как корень квадратный из отношения межгрупповой дисперсии к общей дисперсии: .

Отношения межгрупповой дисперсии к общей дисперсии называется эмпирическим коэффициентом детерминациии показывает долю группировочного признака в общей вариации: .

Рассчитывается коэффициент вариации по каждой группировки и в целом по всей совокупности:

Задача 3.2. Объяснить, чем вызвана вариация производительности труда на двух предприятиях с различными группами работников. Вычислить все виды дисперсий. Определить степень влияния разряда работников на производительность труда.

Таблица 3.2

Исходные данные

1. Внутригрупповая дисперсия: 40² = 1600 ; 30² = 900.

2. Межгрупповая дисперсия: = .

3. Средняя межгрупповая: .

4. Средняя из внутригрупповых дисперсий:

5. Правило сложения дисперсий:общая дисперсия : .

6. Эмпирический коэффициент детерминации: .

Вывод: Группировочным признаком обусловлено 87,9% вариации производительности труда от разряда квалификации.

7. Эмпирическое корреляционное отношение: =

Связь между производительностью труда и разрядом квалификации сильная.

8. Коэффициент вариации по первой группировке:

коэффициент вариации по второй группировке:

общий коэффициент вариации

в целом по всей совокупности:

Совокупность каждой группировки можно считать однородной, так как коэффициенты вариации меньше 33%. Общая совокупность не однородная, так как коэффициент вариации больше 33%.

7. Относительные показатели вариации

Задача 3.3. По расчетным данным задач 2.3 и 3.1 (средняя величина =21,594, размах вариации = 23,9, среднее линейное отклонение = 4,429, среднее квадратическое отклонение = 5,393) рассчитать относительные показатели вариации.

1. Коэффициент осцилляции:

2. Линейный коэффициент вариации:

3. Коэффициент вариации:

Совокупность можно считать однородной, т. к.

8. Расчет асимметрии и эксцесса.

1. Асимметрия: а)

б)

в)

Центральный момент третьего порядка: m₃ = (m₃ – 3m₁ m₂ + 2m₁³)·i³ ₌

[(-6,6354)-3∙( -0,6354) ∙3,6354+2 ∙ (-0,6354³)] ∙3³ = -5,904

Вывод: асимметрия левосторонняя, слабосмещенная.

2. Эксцесс:

Центральный момент четвёртого порядка: m₄ = (m₄ – 4m₃ m₁ + 6m₂m₁² - 3m₁⁴)·i⁴

[33,6354 – 4*(-6,6354)*(-0,6354) + 6*3,6354*(-0,6354²) - 3*(-0,6354⁴)]*3⁴ ₌ 2032,152.

Вывод: низковершинное распределение.