Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ




Читайте также:
  1. Б) Преодоление испытания силой Христовой (6,3-7,1)
  2. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В МОДЕЛИ ДЖ.М.КЕЙНСА
  3. Зависимые и независимые случайные величины.
  4. Испытания долговечности
  5. Испытания судовых установок очистки сточных вод
  6. Исследования (испытания) и измерения вредных и (или) опасных производственных факторов
  7. Клинические испытания
  8. Контроль надежности сложных систем при испытаниях
  9. Методы испытания связных грунтов на сдвиг.
  10. Механические испытания сварных соединений ПЭ труб на осевое растяжение. Технология производства. Оценка показателей качества.

 

Пусть проводится n последовательных испытаний. Предположим, что эти испытания независимые, т.е. вероятность осуществления очередного исхода не зависит от реализации исходов предыдущих испытаний. Рассмотрим простейший случай, когда различных исходов всего два («успех» и «неуспех»). Более того, речь пойдет о случае, когда вероятность «успеха» в каждом из испытаний неизменна и равна p, т.е. вероятность «неуспеха» также неизменна и равна q = 1 - p . Такие испытания называются испытаниями Бернулли.

Простейшими примерами здесь могут служить: последовательное бросание монеты (с вероятностью «успеха» - выпадения «орла» - равной 0,5); последовательная стрельба по мишени с постоянной вероятностью «успеха» - попадания - в каждом выстреле; извлечение из урны, содержащей шары двух цветов, по одному шару с возвращением (и перемешиванием); и т. д.

Я. Бернулли вычислил вероятность того, что в n последовательных «испытаниях Бернулли» произойдет ровно k «успехов»

(о вычислении числа см. §4).

 

Пример 1. Вероятность того, что при 4 бросках игральной кости выпадут ровно 2 «четверки», равна

Здесь p - вероятность выпадения «четверки» в одном броске - равна 1/6, q = 5/6 , общее число испытаний n = 4 , число «успехов» k = 2 .

 

Пример 2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле p = 0,6 . Какова вероятность, что при пяти выстрелах будет 3 попадания?

Здесь n = 5 , k = 3 , q = 1 - p = 0,4 ,

.

 

Пример 3. В урне 4 белых и 2 черных шара. 6 раз извлекают по 1 шару, записывают цвет, а шар возвращают в урну и перемешивают шары. Какова вероятность, что среди записанных шаров более 4 белых?

Пусть «успех» состоит в том, что вынут белый шар. Тогда p= 4/6 = 2/3 ( из 6 шаров 4 белых ), q = 1 - p = 1/3 . По условию n= 6 , k = 5 или k = 6 , откуда искомая вероятность

.

Пример 4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле p = 0,6 . Какова вероятность, что третье попадание произойдет в пятом выстреле?

Эта задача отличается от рассмотренной в примере 2 : там третье попадание может произойти и раньше пятого выстрела. Искомое событие является произведением двух следующих (независимых): А = {в первых 4 выстрелах ровно 2 попадания} и В={в пятом выстреле попадание}. P(A) вычисляется по формуле Бернулли



,

a P(B) = p = 0,6 . Поэтому искомая вероятность равна

В общем случае вероятность того, что к-й «успех» произойдет ровно в n-м испытании Бернулли, равна

.

 

Пример 5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле p = 0,6 . Какова вероятность, что в 5 выстрелах произойдет хотя бы 2 попадания?

Мы знаем, что Р5(0) + Р5(1) + Р5(2) + Р5(3) + Р5(4) + Р5(5) = 1. В данной задаче нас интересует сумма четырех последних слагаемых:

Заметим, что проще воспользоваться вероятностью противоположного события:1- P5(0)-P5(1)=1-0,45-5 0,44 0,6 = 0,91296.

 

 

§12. ДРУГИЕ ФОРМУЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ СХЕМЫ БЕРНУЛЛИ .

 

Хотя формула Бернулли и является точной, она не всегда удобна. Например, при 100 бросках монеты

,

и вычисление точного ответа затруднительно. Формула Бернулли приемлема для вычислений, если число испытаний не превышает 10-15. При больших n используют либо формулу Лапласа, либо формулу Пуассона.

Формула Лапласа ( локальная теорема Лапласа )

, ,

тем точнее, чем больше n. Здесь n, k, p, q - те же величины, что и в формуле Бернулли. Функция j(x) четная: j(-x) = j(x) . Она быстро убывает: считают, что при x > 4 j(x) = 0. Таблица, позволяющая вычислять значения функции j(x), имеется во всех учебниках и задачниках по теории вероятностей. Впрочем, можно не иметь таблицы, а иметь калькулятор, вычисляющий экспоненту (функцию ех).



 

Пример 1. Вероятность выпадения ровно 50 «орлов» при 100 бросках монеты Р100(50) вычислим по формуле Лапласа. Здесь n = 100 ,k = 50 ,p=0,5, q = 0,5 , k - np = 0 , и

.

 

Пример 2. Найти вероятность выпадения от 47 до 57 «орлов» при 100 бросках монеты.

При решении подобных задач ( при n > 15 ) используют интегральную теорему Лапласа: вероятность Рn(k1,k2) появления события в n испытаниях от k1 до k2 раз

Здесь n, p, q те же, что и в примере 1 : n=100 , p = q =0,5 , k1=47 , k2 = 57 .

Функция F вычисляется с помощью таблиц ( см. приложение ).

Функция Ф(x) нечетная: Ф(-х) = - Ф(х) . При х > 5 считают, что Ф(х) = 0,5.

Итак, Р100(47,57) = Ф(1,4) + Ф(0,6). По таблице Ф(1,4) = 0,4192, Ф(0,6) = 0,2257 , поэтому Р100(47,57) = 0,6449.

При небольших значениях вероятности p ( меньших 0,1 ) и больших значениях n более точный результат дает другая приближенная формула - формула Пуассона

, l = np

l называется параметром распределения Пуассона, а сама формула выражает «закон редких явлений» (т. к. p мало).

Пример 3. Первый черновой набор «Методических указаний» на 50 страницах содержит 100 опечаток. Какое из событий вероятнее: на наудачу взятой странице нет опечаток, 1 опечатка, 2 опечатки, 3 опечатки?

Вероятность того, что данная опечатка попадет на наудачу взятую страницу равна 1/50 = 0,02 , число испытаний ( опечаток ) n = 100 . Поскольку p мало, воспользуемся формулой Пуассона с параметром l = np = 2 . Вероятность того, что опечаток нет



( т.к. 0! = 1 )

Другие вероятности

, .

Как видим, наибольший коэффициент при е-2 у Р100(1) и Р100(2).

Ответ: наиболее вероятны 1 или 2 опечатки, их вероятность .

 


Дата добавления: 2014-12-23; просмотров: 23; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2022 год. (0.012 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты