Виды средних величин

Из всего многообразия средних величин наиболее часто в экономической статистике применяются: средняя агрегатная, средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя хронологическая. Применение той или иной формы зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее необходимо рассчитать.

1. Средняя агрегатная вычисляется по формуле:

, (21)

где w_i – объемный показатель;

f_i – вес признака, частота, численность.

Формула агрегатной средней используется, если известны значения числителя и знаменателя в логической формуле (СИС).

Если известны фонд оплаты труда (ФОТ) и численность в отдельных цехах (участках), то средняя заработная плата по предприятию определяется по формуле (табл. 8):

, (22)

Таблица 8

Фонд оплаты труда ООО «Вымпел»

2.Средняя арифметическая и ее свойства.Средняя арифметическая – одна из наиболее распространенных форм средней величины. Средняя арифметическая используется, если даны отдельные значения признака или в логической формуле расчета показателя неизвестен числитель. Она применяется в виде простой и взвешенной средней арифметической.

Формула простой:

Средняя взвешенная отражает сложное строение совокупности, в ней учитывается удельный вес отдельных групп в совокупности.

Средняя арифметическая имеет ряд свойств, которые находят практическое применение:

1-е свойство. От увеличения (уменьшения) всех вариантов осредняемой величины в К раз их средняя величина соответственно увеличивается (уменьшается) в К раз.

Z_i = K × Х_i

(25)

2-е свойство. От уменьшения (увеличения) веса каждого варианта в К раз средняя не меняется.

(26)

3-е свойство. Величина средней зависит не от абсолютных значений весов отдельных вариантов, а от пропорций между ними.

Отношения отдельных частот f1, f2, … fn к Σf_i представляют долю отдельных вариантов в совокупности:

(27)

где d_i – удельный вес, часть, доля.

Поэтому вместо абсолютного значения f_i можно брать веса вариантов, выраженные в долях или процентах, тогда

(28)

4-е свойство. Если уменьшить (увеличить) все варианты осредненного признака на постоянное число (А), то средняя уменьшается (увеличивается) на то же число.

Z_i = x_i – А

(29)

5-е свойство. Средняя, умноженная на численность всей совокупности, равна сумме произведения каждого варианта на ее численность.

× f_i = х_i × f_i (30)

6-е свойство. Сумма отклонений индивидуальных значений от их средней арифметической равна нулю.

(х_i – ) × f_i = 0,

х_i × f_i – × f_i = 0, (31)

так как x_i × f_i = × f_i (свойство 5).

То есть если взять отклонения каждого варианта от средней величины и взвесить по численности, а затем сложить, то получим ноль.

7-е свойство. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений от их средней арифметической меньше, чем сумма квадратов отклонений индивидуальных значений от любой другой величины:

(х_i – )² < (х_i – А)². (32)

Использование свойств средней арифметической позволяет значительно упростить ее вычисления. Упрощенный способ расчета средней арифметической, называемый способом моментов (первого порядка), состоит в следующем:

– уменьшим все значения вариантов на величину А, в качестве которой обычно принимается наиболее часто встречающееся значение признака: х_i – А;

– все полученные отклонения разделим на какое-нибудь общее кратное (обычно величину интервала) число, то же и для весов, то есть

(33)

– рассчитаем среднюю арифметическую условных значений (Z_i):

(34)

f_i´ = f_i / m;

– на основании свойств средней арифметической, для того чтобы ее общее значение не изменялось, нужно условную среднюю Z увеличить в К раз и на А, то есть

= × К + А. (35)

3.Средняя гармоническаяиспользуется в тех случаях, когда известны обратные значения показателя либо в логической формуле расчета показателя неизвестен знаменатель. Средняя гармоническая вычисляется из обратных значений признака и может также быть:

а) простой

(36)

где 1/х_i – обратные значения вариантов признака;

n – число вариантов;

б) взвешенной

(37)

где w_i = х_i × f_i – объемный показатель.

Применяется средняя гармоническая в тех случаях, когда непосредственные данные о весах отсутствуют, а известны варианты осредняемого признака (х_i) и произведения значений вариантов на количество единиц, обладающих данным его значением (w_i = х_i × f_i).

Пример. Рассчитаем среднюю гармоническую величину по данным о валовом сборе зерна, представленным в табл. 9.

Таблица 9

Валовой сбор зерна

где площадь определяется как:

Подставляем в исходную формулу:

4. Средняя геометрическаяиспользуется в статистике в основном для вычисления темпов роста показателей динамического ряда. В зависимости от имеющихся исходных данных может использоваться формула двух видов:

1. Если расчет ведется исходя из коэффициентов (темпов) роста, найденных по отношению к предыдущему периоду (цепных), то

(38)

где Тр_i – цепные темпы роста;

n – число значений признака.

2. Если в распоряжении имеются абсолютные уровни ряда или базисный темп роста, то есть за весь период, то

(39)

где Y_о, Y_n – начальные и конечные абсолютные значения уровней ряда;

Тр_баз – базисный темп роста за данный период.

Например, в 2009 г. валовой продукт (ВП) составил 120 млрд. руб.; в 2004 г. ВП – 100 млрд. руб.

5. Средняя хронологическаяиспользуется для вычисления средней величины из уровней моментного ряда динамики и может быть:

а) простой

(40)

где х_i – абсолютные значения уровней для моментного ряда (на определенную дату, момент);

(n – 1) – продолжительность периода (например, если за год, то n – 1 = 12 месяцев);

б) взвешенной

(41)

где t_i – период времени, отделяющий один уровень ряда от другого.

Средняя взвешенная используется, если интервалы времени между уровнями неравны и известно время, в течение которого сохранялось каждое значение уровня ряда.