Теоретические положения. В разветвленных электрических цепях используют следующие понятия:

В разветвленных электрических цепях используют следующие понятия:

1) ветвь – участок цепи с последовательным соединением элементов;

2) узел – точка соединения нескольких ветвей;

3) контур – любой замкнутый путь по цепи с началом и концом в одной точке.

При расчете таких цепей применяют законы Кирхгофа:

Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма токов (рис. 3.2), сходящихся в узле, равна нулю. Токи, подходящие к узлу, берут с одним знаком, выходящие – с другим, или сумма токов, подходящих к узлу, равна сумме токов, выходящих из узла:

I₁ – I₂ – I₃ – I₄ + I₅ = 0 или I₁ + I₅ = I₂ + I₃ + I₄

Рис. 3.2

Второй закон Кирхгофа. В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений:

Σ Е = Σ U = Σ I · R.

Правило выбора знака: произвольно задаемся направлением обхода контура и, если ЭДС, напряжение, ток совпадают с направлением обхода, берутся со знаком «плюс», не совпадают – «минус».

Например, для контура на рисунке 3.3 имеем:

Е₁ – Е₂ = I₁R₁ – I₃R₃ – U₂ + I₄R₄ .

Рис. 3.3

В сложных цепях источники ЭДС могут работать в режиме генератора и потребителя энергии.

Если направление ЭДС совпадает с направлением тока в этой ветви, то источник ЭДС работает генератором, т.е. отдает энергию в цепь; если не совпадает, то этот источник ЭДС является потребителем энергии.

Баланс мощностей

В любой электрической цепи выполняется закон сохранения энергии: сколько энергии вырабатывают генераторы, столько ее и потребляется.

В единицу времени это будет закон сохранения мощностей или баланс мощностей: мощность генераторов в данной цепи равна мощности всех потребителей:

Σ Р_г = Σ Р_н.

В сложных цепях источники ЭДС могут работать в режиме генератора, если направление тока совпадает с направлением ЭДС, и потребителя, если их направления не совпадают.

Для источников ЭДС: Р = ЕI; для резистивных элементов: Р = I²R.

Проверка баланса мощностей всегда необходима в электрических расчетах, так как первый закон Кирхгофа может соблюдаться и при неправильных расчетах.

Потенциальная диаграмма

Под потенциальной диаграммой понимают график распределения потенциалов вдоль какого-либо участка цепи или замкнутого контура. При этом любую точку условно заземляют, т.е. ее потенциал принимают равным нулю. При этом распределение токов в ветвях не изменяется, так как не образуется новых ветвей. Потенциальная диаграмма строится как зависимость потенциала φ точки от сопротивления. По оси абсцисс откладывают сопротивление участков цепи, а по оси ординат – потенциалы.

Например, в схеме рисунка 3.4 известны сопротивления, токи, ЭДС.

Рис. 3.4

Дано: Е₁ = 80 В, Е₂ = 64 В, R₁ = 6 Ом, R₂ = 4 Ом, R₃ = 3 Ом, R₄ = 1 Ом,

I₁ = 6 А, I₂ = 5 А, I₃ = 11 А.

Построим потенциальную диаграмму для контура а, в, Е₂, с, d, Е₁, a. Точка «а» заземлена. Суммарное сопротивление контура равно 4 + 6 = 10 Ом. Выбираем масштаб для сопротивлений. Внутренним сопротивлением источников ЭДС пренебрегаем. Определим потенциалы точек:

φ_а = 0;

φ_в = φ_а + I₂R₂ (потенциал точки в больше, так как ток идет от большего потенциала к меньшему, поэтому I₂R₂ берется со знаком «плюс»);

φ_с = φ_в – Е₂ (внутри источника ЭДС ток идет от меньшего к большему, т.е. от «минуса» к «плюсу»);

φ_d = φ_с – I₁R_1;

φ_е = φ_d + Е₁ = φ_а.

Контрольные вопросы

1. Как с помощью вольтметра или амперметра определить направление тока в ветви?

2. Сформулируйте I и II законы Кирхгофа и правила выбора знаков.

3. Как определить режим работы источника ЭДС при составлении баланса мощностей?

Лабораторная работа № 4

Исследование переходных процессов в цепи постоянного тока

с RC-элементами

Цель работы: экспериментально определить закономерности процессов зарядки и разрядки конденсатора в цепи постоянного тока и влияние параметров цепи на переходной процесс.

Программа работы

1. Собрать схему экспериментальной установки (рис. 4.1)

Рис. 4.1

2. Исследовать процесс зарядки конденсатора (выключатель в положении «01») при двух различных параметрах R, C, измеряя величину тока через определенные промежутки времени. Предварительно провести пробную зарядку конденсатора и определить ее время, затем конденсатор полностью разрядить.

3. Зарядить полностью конденсатор и затем, переведя выключатель в положение «02», фиксировать величину тока разрядки через определенные промежутки времени.

4. Результаты измерения по пунктам 2 и 3 занести в таблицу, и по этим данным рассчитать напряжение на конденсаторе и построить график i = f(t), u_c = f(t) при зарядке и разрядке конденсатора, по которым определить постоянные времени τ_з и τ_р для двух-трех точек кривых зарядки и разрядки.

Таблица 4.1

5. По заданным параметрам R, C построить расчетные характеристики зарядки и разрядки конденсатора и сравнить с экспериментальными.

Теоретические положения

Процессы, происходящие в электрических цепях при переводе их из одного установившегося режима в другой, называются переходными процессами.

Причинами переходных процессов могут быть коммутационные изменения режимов (замыкание или размыкание электрической цепи или изменение ее электрических параметров: входного напряжения, величин сопротивлений, емкости, индуктивности).

В нашей цепи II закон Кирхгофа для мгновенных значений определяется зависимостью:

u_R + u_C = U₀

или iR + u_C = U₀,

с учетом того, что

где dq = C · du_c имеем уравнение:

. (4.1)

Произведение RC имеет размерность времени и называется постоянной времени переходного процесса: τ = RC. Это основная характеристика переходного процесса. Физический смысл ее – это время, за которое переходной процесс закончился бы, если бы он шел с постоянной скоростью, т.е. не было бы в цепи элементов, обладающих инерционными свойствами. В нашем случае таким элементом является конденсатор. Он не может зарядиться мгновенно, напряжение на нем не может измениться скачком при подаче напряжения U₀. В противном случае составляющая и II закон Кирхгофа не будет соблюдаться.

Решая уравнение (4.1) относительно u_C, получим:

u_C = U₀ (1 – e ^–t/τ). (4.2)

Это уравнение экспоненты. При t = 0 имеем u_C = 0, а при t → ∞, u_C → U₀ (установившееся значение). Практически переходной процесс можно считать закончившимся при t = 4-5τ.

Изменение тока при зарядке конденсатора также идет по экспоненциальному закону:

(4.3)

При t = 0 ток скачком принимает значение и затем уменьшается до нуля при t → ∞.

Контролируя изменение тока во времени и зная величину R, а, следовательно, напряжение на резисторе: u_R = iR, напряжение на конденсаторе в переходном процессе можно определить по формуле:

u_C = U₀ – u_R

и построить экспериментальную кривую переходного процесса зарядки конденсатора, которая должна совпасть с теоретической кривой, построенной по уравнению (4.2).

Проведя касательную в любой точке кривой u_C = f(t) до пересечения с установившимся значением напряжения U₀, можно определить постоянную времени τ, как проекцию на оси времени от точки касания до точки пересечения с U₀.

Постоянную времени можно также определить из уравнения (4.3), зная I₀ и измерив через небольшой промежуток времени t значение тока i:

.

Процесс разрядки конденсатора при замыкании цепи R, C описывается дифференциальным уравнением:

iR + u_C = 0,

где u_C = U₀e ^–t/τ

Знак «–» перед током показывает изменение направления тока при разрядке конденсатора по сравнению с зарядкой. Измеряя ток и время, можно вычислить напряжение на конденсаторе при разрядке: u_C = - iR.

Графики изменения u_C и i при зарядке и разрядке конденсатора имеют вид:

Зарядка Разрядка

Рис. 4.2

Контрольные вопросы

1. Что называется переходным процессом?

2. При каких условиях появляются переходные процессы?

3. Физический смысл постоянной времени переходного процесса.

4. Отличаются ли постоянные времени при зарядке и разрядке конденсатора?

5. Как определить постоянную времени по графику переходного процесса?

6. Измениться ли продолжительность переходного процесса, если изменять величину напряжения источника питания?

7. По каким зависимостям идут процессы зарядки и разрядки конденсатора?

8. Каким образом можно изменить время зарядки и разрядки конденсатора?

Лабораторная работа № 5

Исследование нелинейных цепей постоянного тока

Цель работы: экспериментальная проверка графоаналитического метода расчета нелинейных цепей.

Программа работы

1.Собрать схему экспериментальной установки (рис. 5.1) и провести измерения для трех опытов.

Рис. 5.1

1-й опыт – включено только нелинейное сопротивление R_н.

2-й опыт – последовательное соединение нелинейного R_н и линейного R_л сопротивлений.

3-й опыт – параллельное соединение нелинейного R_н и линейного R_л сопротивлений.

- Установить переключатель SA₁ в положение «1», переключатель SA₂ в положение «2». Изменяя напряжение U₁ от 0 до 30 В (через 5 В), произвести замеры U₁ и I₁. Результаты измерений занести в таблицу.

- Установить переключатель SA₁ в положение «2», переключатель SA₂ в положение «1». Проверить, что прибор pV₂ включен на измерение напряжения. Изменяя U₁ от 0 до 30 В произвести измерения U₁, I₁, U₂ = U_н при последовательном соединении линейного и нелинейного сопротивлений. Напряжение на линейном сопротивлении рассчитать по формуле U_л = U₁ – U₂.

- Установить переключатель SA₁ в положение «1», переключатель SA₂ в положение «1», измерительный прибор pV₂ переключить на измерение тока I₂ = I_л и провести измерение U₁, I₁, I₂ = I_л. Имеем параллельное соединение линейного и нелинейного сопротивлений. Ток в нелинейном сопротивлении определить по I закону Кирхгофа: I_н = I₁ – I₂.

Таблица измерений и расчетов

2. По данным измерений 1-го опыта построить вольтамперную характеристику ВАХ нелинейного сопротивления I₁ = f(U₁), ВАХ линейного сопротивления построить по расчету, определив угол наклона ВАХ к оси ординат, задавшись напряжением и определив величину тока. Например, U₁ = 30 B, ток . Зная ВАХ линейного и нелинейного сопротивлений, построить ВАХ при их последовательном и параллельном соединении.

По результатам 2-го и 3-го опыта нанести экспериментальные точки на характеристики соединений и оценить совпадение графоаналитического построения ВАХ с результатами экспериментов.

Теоретические положения

Нелинейной называется электрическая цепь, имеющая хотя бы один элемент, ВАХ которого не является прямой линией.

В нелинейных цепях не соблюдается закон Ома. И методы расчета линейных цепей приводят к большим погрешностям, зачастую недопустимых.

Наиболее простым методом расчета нелинейных цепей является графоаналитический, когда по ВАХ элементов цепи строят графически ВАХ их соединений.

При последовательном соединении, задаваясь значениями тока, результирующую характеристику получают суммированием напряжений элементов цепи: U= =U_л + U_н + ... (рис. 5.2).

Рис. 5.2

При параллельном соединении, задаваясь величиной напряжения, ВАХ соединения получают суммированием токов I = I_л +I_н + ... (рис. 5.3).

Рис. 5.3

При смешанном соединении сначала находят ВАХ параллельного соединения, затем последовательного.

В конечном итоге мы преобразуем схему соединения к одному сопротивлению так же, как делаем это при эквивалентном преобразовании разветвленных линейных цепей. Только делаем это графически.

А затем для заданного напряжения в обратной последовательности находим токи и напряжения в элементах схемы.

Контрольные вопросы

1. Какая цепь называется нелинейной?

2. Методика определения напряжений на элементах нелинейной цепи при последовательном соединении.

3. Методика определения токов в нелинейной цепи при параллельном соединении элементов.

4. Расчет нелинейной цепи при смешанном соединении элементов.

Лабораторная работа № 6

Исследование цепи переменного тока с последовательным соединением

r, L, C-элементов

Цель работы: исследовать особенности работы цепи при последовательном соединении активных, индуктивных и емкостных сопротивлений, научиться анализировать работу цепи с помощью построения векторных диаграмм.