Теоретичні положення.

Розв’язання нелінійних алгебраїчних і трансцендентних рівнянь

Лекція 1

Методи розв’язання нелінійних рівнянь.

Розв’язання нелінійних рівнянь і систем є не тільки важливою самостійною задачею, але і частиною інших задач обчислювальної математики, наприклад, розв’язання нелінійних диференціальних рівнянь або знаходження власних значень матриць. Із ними зв'язана побудова різноманітних моделей приладів і систем автоматики і інформаційно-вимірювальної техніки.

Задачі, які зводяться до розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь, можна класифікувати по числу рівнянь і в залежності від передбачуваного характеру і числа рішень (мал.1).

Мал.1

Трансцендентними називаються нелінійні рівняння, що містять тригонометричні або інші спеціальні функції, наприклад, логарифмічну або експоненціальну. Рівняння, що не містять спеціальних функцій, а тільки степені аргументу з відповідними коефіцієнтами, є нелінійними алгебраїчними.

Застосування прямих засобів розв’язання таких рівнянь можливо лише для алгебраїчних рівнянь, причому на практиці це доцільно при порядку не більш третього. Тому на перший план виходять ітераційні методи, особливо за наявності ефективних алгоритмів. Існує ряд методів чисельного розв’язання нелінійних рівнянь, доцільність застосування кожного з яких визначається виглядом рівняння, його порядком, необхідною точністю і т. д.

Теоретичні положення.

Потрібно знайти розв’язання рівняння:

f(х) = 0, (1)

де функція f(х) визначена і неперервна на деякому скінченому або нескінченному інтервалі а<х<b. Якщо функція є поліноиом, то рівняння (1) називається алгебраїчним, якщо ж у функцію f(х) входять елементарні (тригонометричні, логарифмічні, показові і т.п.) функції, то таке рівняння називають трансцендентним.

Всяке значення х*, що обертає функцію в нуль, тобто таке, при якому f(х*)=0, називається коренем рівняння (1), а спосіб знаходження цього значення і є розв’язання рівняння (1).

Знайти корені рівняння (1) точно вдається лише в окремих випадках. Крім того, часто рівняння містять коефіцієнти, відомі лише приблизно і, отже, сама задача про точне визначення коренів рівняння втрачає зміст. Тому розроблені методи чисельного розв’язання рівнянь вигляду (1), які дозволяють знайти наближені значення коренів цього рівняння.

При цьому доводиться розв’язувати дві задачі:

- наближеного знаходження значень дійсних коренів (комплексних коренів або відділення коренів), тобто встановлення досить малих інтервалів, (a,b) в яких міститься ізольований корінь рівняння (1);

- уточнення коренів до заданої точності.

Для наближеного знаходження значень дійсних коренів або відділення коренів застосовують різні міркування і методи. У деяких випадках межі коренів можна визначити із фізичних явищ, які описуються рівнянням (1).

Іноді для наближеного обчислення коренів знаходять більш просте рівняння, яке має корені, приблизно рівні необхідним кореням даного рівняння.

Одним із найпростіших методів знаходження наближеного значення коренів є побудова графіка функції у=f(х) і наближене визначення точок, в яких крива перетинає вісь х. У цих точках у=0 і, отже, відповідні значення х задовольняють рівнянню (1) і є його дійсними коренями. У деяких випадках рівняння (1) зручніше записати у вигляді f₁(х)=f₂(х) а, потім побудувати графіки двох функцій y₁=f₁(х) і y₂=f₂(х). Абсциси точок перетину задовольняють рівнянню f₁(х)=f₂(х), а отже, і рівнянню (1).

Для уточнення дійсних коренів до заданої точності використовуються, у більшості випадків, iтерацiйнi методи. Застосування того чи іншого методу залежить від того, яке є початкове наближення до кореня, а також від існування і гладкості похідних функцій, необхідного числа коренів, їх кратності і т.д.

В ітераційних методах можна вибирати критерій закінчення розрахунків. Якщо функція f(х) в області, що розглядається змінюється повільно, тобто çf¢(х)ç<1, то ітераційний процес потрібно закінчувати по виконанню умови çx_k+1 - x_k ç< e, де x_k+1 , x_k - наближення до кореня. Якщо ж функція змінюється швидко, тобто çf¢(х)ç³1, то ітераційний процес буде закінчуватися по виконанню умови çf (х_k)ç< e.