Закон распределения функции двух случайных величин.

Изложим общий метод решения задачи для наиболее простого случая функции двух аргументов.

Имеется система двух непрерывных случайных ве­личин (X,Y) с плотностью распределения f(x,y). Слу­чайная величина Z связана с X и Y функциональной зависимостью:

Требуется найти закон распределения величины Z.

Для решения задачи вос­пользуемся геометрической интерпретацией. Функия изобразится уже не кривой, а поверхностью (рис. 6.2.1).

Найдем функцию распределения величины Z:

(6.2.1)

Проведем плоскость Q, параллельную плоскости хОу, на расстоя­нии z от нее. Эта плоскость пересечет поверхность по некоторой кривой К. Спроектируем кривую К на плоскость хОу. Эта проекция, уравнение которой , разделит плоскость хОу на две области; для одной из них высота поверхности над пло­скостью хОу будет меньше, а для другой — больше z. Обозначим D ту область, для которой эта высота меньше z. Чтобы выполнялось неравенство (6.2.1), случайная точка (X,Y) очевидно, должна по­пасть в область D; следовательно,

(6.2.2)

В выражение (6.2.2) величина z входит неявно, через пределы интегрирования.

Дифференцируя G(z) по z, получим плотность распределения величины Z:

(6.2.3)

Зная конкретный вид функции , можно выразить пре­делы интегрирования через z и написать выражение g(z) в явном виде.