Числовые характеристики функций случайных величин.

Рассмотрим следующую задачу: случайная величина Y есть функция нескольких случайных величин ;

(6.7.1)

Пусть нам известен закон распределения системы аргументов ; требуется найти числовые характеристики вели­чины Y, в первую очередь—математическое ожидание и дисперсию.

Представим себе, что нам удалось найти закон распределения g(у) величины Y. Тогда задача об определении числовых характеристик становится простой; они находятся по формулам:

	(6.7.2)
	(6.7.3)

Однако задача нахождения закона распределения g(y) ве­личины Y часто оказывается довольно сложной. Для решения поставленной задачи нахождение закона распределения величины Y не нужно: чтобы найти только числовые характеристики величины Y, нет надобности знать ее закон распределения; достаточно знать закон распределения аргументов .

Таким образом, возникает задача определения числовых характе­ристик функций случайных величин, не определяя законов распре­деления этих функций.

Рассмотрим задачу об определении числовых характеристик функ­ции при заданном законе распределения аргументов. Начнем с самого простого случая — функции одного аргумента.

Имеется случайная величина X с заданным законом распределе­ния; другая случайная величина Y связана с X функциональной за­висимостью: Y= (Х).

Требуется, не находя закона распределения величины Y, опреде­лить ее математическое ожидание:

(6.7.4)

Рассмотрим сначала случай, когда X есть дискретная случайная величина с рядом распределения:

Табл. 6.7.1

Запишем в виде таблицы возможные значения величины Y и вероятности этих значений:

Табл. 6.7.2

( xi)	( x1)	( x2)	…	( xn)
pi	P1	P2	…	pn

Таблица 6.7.2 не является рядом распре­деления величины Y, так как в общем случае некоторые из значений

(6.7.5)

могут совпадать между собой. Для того чтобы от таблицы (6.7.1) перейти к подлинному ряду распределения величины Y, нужно было бы расположить значения (6.7.5) в порядке возрастания, объединить столбцы, соответствую­щие равным между собой значениям Y, и сложить соответствующие вероятности. Математическое ожидание величины Y можно определить по формуле

(6.7.6)

Очевидно, величина т_у — М( (Х)), определяемая по формуле (6.7.6), не может измениться от того, что под знаком суммы некоторые члены будут объединены заранее, а порядок членов изменен.

В формуле (6.7.6) для математического ожидания функции не содержится в явном виде закона распределения самой функции, а содержится только закон распределения аргумента. Таким образом, для определения математического ожидания функции вовсе не требуется знать закон распределения этой функции, а доста­точно знать закон распределения аргумента.

Заменяя в формуле (6.7.6) сумму интегралом, а вероятность р_i— элементом вероятности, получим аналогичную формулу для непрерыв­ной случайной величины:

(6.7.7)

где f(x) — плотность распределения величины X.

Аналогично может быть определено математическое ожидание функции у(Х,Y) от двух случайных аргументов X и Y. Для дискретных величин

(6.7.8)

где — вероятность того, что система (X,Y) примет значения (x_i y_j). Для непрерывных величин

(6.7.9)

где f(x, у) — плотность распределения системы (X, Y).

Аналогично определяется математическое ожидание функции от произвольного числа случайных аргументов. Приведем соответствующую формулу только для непрерывных величин:

(6.7.10)

где — плотность распределения системы .

Формулы типа (6.7.10) весьма часто встречаются в практическом применении теории вероятностей, когда речь идет об осреднении каких-либо величин, зависящих от ряда случайных аргументов.

Таким образом, математическое ожидание функции любого числа случайных аргументов может быть найдено помимо закона распреде­ления функции. Аналогично могут быть найдены и другие числовые характеристики функции — моменты различных порядков. Так как каждый момент представляет собой математическое ожидание некоторой функции исследуемой случайной величины, то вычисление любого момента может быть осуществлено приемами, совершенно аналогич­ными вышеизложенным. Здесь мы приведем расчетные формулы только для дисперсии, причем лишь для случая непрерывных случайных аргументов.

Дисперсия функции одного случайного аргумента выражается формулой

(6.7.11)

где т=М[ (x)] — математическое ожидание функции (X); f(х) — плотность распределения величины X.

Аналогично выражается дисперсия функции двух случайных аргументов:

(6.7.12)

где — математическое ожидание функции (Х,Y); f(x,у) — плотность распределения системы (X,Y). Наконец, в случае произвольного числа случайных аргументов, в аналогичных обозначениях:

(6.7.13)