Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Теоремы о дисперсии случайной величины.




Читайте также:
  1. III. Перейдем к доказательству теоремы о промежуточном значении
  2. А) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
  3. А) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
  4. А) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
  5. Б) Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
  6. Билет №8. Закон распределения системы случайных величин. Функция и плотность двумерной случайной величины и их свойства.
  7. Величины.
  8. Вероятностная оценка случайной величины – наработки до второго отказа
  9. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.
  10. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.

Теорема 6. Неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возводя ее в квадрат.

Если с — неслучайная величина, а X — случайная, то

(7.2.1)

Доказательство. По определению дисперсии

 

Следствие

(7.2.2)

т. е. неслучайную величину можно выносить за знак среднеквадратического отклонения ее абсолютным значением. Доказательство получим, извлекая корень квадратный из формулы (7.2.1) и учиты­вая, что среднеквадратическое положительная величина.

Теорема 7. Дисперсия неслучайной величины равна нулю

Если с — неслучайная величина, то

, тогда

(7.2.3)

 

Теорема 8.Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их диспер­сий плюс удвоенный корреляционный момент:

(7.2.4)

Доказательство. Обозначим

(7.2.5)

По теореме сложения математических ожиданий

(7.2.6)

Перейдем от случайных величин X,Y,Z к соответствующим центрированным величинам X,Y,Z. Вычитая почленно из равенства (7.2.5) равенство (7.2.6), имеем:

 

По определению дисперсии

 

что и требовалось доказать.

Формула (7.2.4) для дисперсии суммы может быть обобщена на любое число слагаемых:

(7.2.7)

 

где Кij — корреляционный момент величин Xi , Xj, знак i<j под суммой обозначает, что суммирование распространяется на все воз­можные попарные сочетания случайных величин (X12.....,Хn).

Доказательство аналогично предыдущему и вытекает из формулы для квадрата многочлена.

Формула (7.2.7) может быть записана еще в другом виде:

(7.2.8)

где двойная сумма распространяется на все элементы корреляционной матрицы системы величин 12,....Хn), содержащей как корреляционные моменты, так и дисперсии.

Если все случайные величины 12,...,Хп), входящие в систему, некоррелированы (т. е. Кij = 0 при i j). формула (7.2.7) принимает вид:

(7.2.9)

т.е. дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых.

Это положение известно под названием теоремы сложения дисперсий.

Теорема 9. Дисперсия линейной конбинации случайных величин определяется соотношением

(7.2.10)

где Кij— корреляционный момент величин Xi, Xj.



Доказательство. Введем обозначение:

 

Тогда

(7.2.11)

Применяя к правой части выражения (7.2.11) формулу (7.2.7) для дисперсии суммы и учитывая, что D[b] = 0, получим:

(7.2.12)

где — корреляционный момент величин Yi, Yj.

 

Вычислим этот момент. Имеем:

 

аналогично

 

Отсюда

 

Подставляя это выражение в (7.2.12), приходим к формуле (7.2.10).

В частном случае, когда все величины 12,...,Хn) некоррелированные, формула (7.2.10) принимает вид:

(7.2.13)

т.е. дисперсия линейной функции некоррелированных случайных величин равна сумме произведений квадратов коэффициен­тов на дисперсии соответствующих аргументов).

Теорема 10. Дисперсия произведения независимых случайных величин определяется соотношением

(7.2.14)

Доказательство. Обозначим XY=Z. По определению дисперсии

 

Так как величины X, Y независимы, mz = mxmy и

 

При независимых X, У величины Х2, Y2 тоже независимы следовательно,

 

и



(7.2.15)

Но М[X2] есть не что иное, как второй начальный момент величины X, и, следовательно, выражается через дисперсию:

(7.2.16)

аналогично

(7.2.17)

Подставляя выражения (7.2.16) и (7.2.17) в формулу (7.2.15) и приводя подобные члены, приходим к формуле (7.2.14).

В случае, когда перемножаются центрированные случайные величины (величины с математическими ожиданиями, равными нулю), формула (7.2.14) принимает вид:

(7.2.18)

т.е. дисперсия произведения независимых центрированных случайных величин равна произведению их дисперсий.


Дата добавления: 2014-12-23; просмотров: 186; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.015 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты