![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Неравенство Чебышева.Пусть имеется случайная величина X с математическим ожиданием тх и дисперсией Dx. Неравенство Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число
Доказательство. 1. Пусть величина X дискретная, с рядом распределения:
Изобразим возможные значения величины X и ее математическое ожидание тх в виде точек на числовой оси Ох (рис. 9.2.1). Зададимся некоторым значением
Для этого отложим от точки тх вправо и влево по отрезку длиной а; получим отрезок АВ. Вероятность (9.2.1) есть не что иное, как вероятность того, что случайная точка X попадет не внутрь отрезка АВ, а вовне его:
Для того чтобы найти эту вероятность, нужно просуммировать вероятности всех тех значении xi, которые лежат вне отрезка АВ. Это мы запишем следующим образом:
где запись С другой стороны, напишем выражение дисперсии величины X. По определению:
Так как все члены суммы (9.2.4) неотрицательны, она может только уменьшиться, если мы распространим ее не на все значения xi, а только на некоторые, в частности на те, которые лежат вне отрезка АВ:
Заменим под знаком суммы выражение
Но согласно формуле (9.2.3) сумма, стоящая в правой части (9.2.6). есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки вовне отрезка АВ; следовательно,
откуда непосредственно вытекает доказываемое неравенство. 2. В случае, когда величина X непрерывна, доказательство проводится аналогичным образом с заменой вероятностей pi элементам вероятности, а конечных сумм — интегралами. Действительно,
где f(x) — плотность распределения величины X. Далее, имеем:
где знак Заменяя
откуда и вытекает неравенство Чебышева для непрерывных величия. Теорема Чебышева. Пусть
Доказательство. Выше было показано, что величина
имеет числовые характеристики
Применим к случайной величине Y неравенство Чебышева:
Как бы мало ни было число
где
откуда, переходя к противоположному событию, имеем:
что и требовалось доказать. Обобщенная теорема Чебышева. Теорема Чебышева легко может быть обобщена на более сложный случай. Обобщенная теорема Чебышева формулируется следующим образом. Если
то при возрастании п среднее арифметическое наблюденных значений величин
Доказательство. Рассмотрим величину
Ее математическое ожидание равно:
а дисперсия
Применим к величине Y неравенство Чебышева:
или
Заменим в правой части неравенства (9.2.7) каждую из величин
Как бы мало ни было
|