Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Неравенство Чебышева.




Читайте также:
  1. Quot;Свобода есть право на неравенство".
  2. ВОЗРАСТ И НЕРАВЕНСТВО
  3. Глава IV. Неравенство и бедность
  4. НЕРАВЕНСТВО В РАЗЛИЧНЫХ ОБЩЕСТВАХ
  5. Неравенство доходов и экономические меры социальной поддержки.
  6. Неравенство и бедность
  7. Неравенство как источник расслоения
  8. Неравенство как стабилизатор структуры
  9. Неравенство Клаузиуса. Равенство Клаузиуса. Энтропия. Изэнтропический процесс. Теорема Нернста(третье начало термодинамики).

Пусть имеется случайная величина X с математическим ожида­нием тх и дисперсией Dx. Неравенство Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число , вероятность того, что величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на , ограничена сверху величиной — :

(9.2.1)

Доказательство. 1. Пусть величина X дискретная, с рядом распределения:

Изобразим возможные значения величины X и ее математическое ожидание тх в виде точек на числовой оси Ох (рис. 9.2.1).

Зададимся некоторым значением и вычислим вероятность того, что величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на :

(9.2.2)

Для этого отложим от точки тх вправо и влево по отрезку длиной а; получим отрезок АВ. Вероятность (9.2.1) есть не что иное,

как вероятность того, что случайная точка X попадет не внутрь отрезка АВ, а вовне его:

 

Для того чтобы найти эту вероятность, нужно просуммировать вероятности всех тех значении xi, которые лежат вне отрезка АВ. Это мы запишем следующим образом:

(9.2.3)

где запись под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все те значения i, для которых точки лежат вне отрезка АВ.

С другой стороны, напишем выражение дисперсии величины X. По определению:

(9.2.4)

Так как все члены суммы (9.2.4) неотрицательны, она может только уменьшиться, если мы распространим ее не на все значения xi, а только на некоторые, в частности на те, которые лежат вне отрезка АВ:

(9.2.5)

Заменим под знаком суммы выражение через . Так как для всех членов суммы , то от такой замены сумма тоже может только уменьшиться; значит.

(9.2.6)

Но согласно формуле (9.2.3) сумма, стоящая в правой части (9.2.6). есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки вовне отрезка АВ; следовательно,

 

откуда непосредственно вытекает доказываемое неравенство.

2. В случае, когда величина X непрерывна, доказательство про­водится аналогичным образом с заменой вероятностей pi элементам вероятности, а конечных сумм — интегралами. Действительно,

 

где f(x) — плотность распределения величины X. Далее, имеем:



 

где знак под интегралом означает, что интегрирование распространяется на внешнюю часть отрезка АВ.

Заменяя под знаком интеграла через , получим:

 

откуда и вытекает неравенство Чебышева для непрерывных величия.

Теорема Чебышева.

Пусть последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковые и . Тогда при их среднее арифметическое сходится по вероятности к их математическому ожиданию, то есть

 

Доказательство. Выше было показано, что величина

 

имеет числовые характеристики

 

Применим к случайной величине Y неравенство Чебышева:

 

Как бы мало ни было число , можно взять п таким большим, чтобы выполнялось неравенство

 

где — сколь угодно малое число. Тогда

 

откуда, переходя к противоположному событию, имеем:

, что эквивалентно

что и требовалось доказать.

Обобщенная теорема Чебышева.

Теорема Чебышева легко может быть обобщена на более слож­ный случай. Обобщенная теорема Чебышева формулируется следующим образом. Если независимые случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями и если все дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом L:



 

то при возрастании п среднее арифметическое наблюденных значений величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий. Запишем эту теорему в виде формулы. Пусть — сколь угодно малые положительные числа. Тогда при достаточно большом n

 

Доказательство. Рассмотрим величину

 

Ее математическое ожидание равно:

 

а дисперсия

 

Применим к величине Y неравенство Чебышева:

 

или

(9.2.7)

Заменим в правой части неравенства (9.2.7) каждую из величин большей величиной L. Тогда неравенство только усилится:

 

Как бы мало ни было , можно выбрать п настолько большим, чтобы выполнялось неравенство , тогда откуда, переходя к противоположному событию, получим доказываемое неравенство.


Дата добавления: 2014-12-23; просмотров: 23; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.014 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты