IV. Примеры решения задач. Решение. 1) По правилу параллелепипеда сложения трех некомпланарных векторов в пространстве имеем: = 2)
Решение.
1) По правилу параллелепипеда сложения трех некомпланарных векторов в пространстве имеем:
=
2) =
| | Задача 1. В параллелепипеде АВСДА'В'С'Д' заданы векторы, совпадающие с его ребрами: , , . Построить каждый из следующих векторов: 1) ; 2) ; 3) .
3) = – , где К – середина ребра АА'.
Задача 2. Даны три вектора , , . Найти разложение вектора по базису .
Решение.
Обозначим коэффициенты разложения вектора по базису через x, y, z. Тогда . Запишем это соотношение в координатах:

Получили систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решая ее, получим x = 2, y = –3, z = 1 и .
Ответ: .
Задача 3. Даны три силы , и , приложенные к одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения М1(5;3;–7) в положение М2(4;–1;–4).
Решение.
Если вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора , то работа А этой силы определяется равенством А = .
Найдем силу , являющуюся равнодействующей данных сил , т.е.
, .
Вектор перемещения имеет координаты .
Найдем скалярное произведение в координатах:
= 2∙(–1)+(–3)∙(–4)+1∙3 = 13.
Ответ: А = 13.
Задача 4. Даны вершины треугольника: А(–1;–2;4), В(–4;–2;0) и С(3;–2;1). Определить его внутренний угол при вершине В.
Решение.
Внутренний угол при вершине В треугольника АВС можно определить как угол между неколлинеарными векторами и .
Найдем координаты этих векторов.
| |
Используем формулу cos 
cos B = . Следовательно,
= arccos = 450
Ответ: = 450.
Задача 5. Вектор , коллинеарный вектору , образует острый угол с осью Oz. Зная, что , найти его координаты.
Решение.
Так как коллинеарен вектору , то его координаты пропорциональны координатам , т.е. . Найдем длину вектора :

Учитывая, что , получим
156,25α2 = 2500 α2 = 16 α = 4.
Отсюда следует, что имеет координаты или .
Но вектор образует острый угол с осью Oz, следовательно >0, где – направляющий вектор оси Oz, .
Найдем <0, >0. Учитывая, что , получим, что α = – 4 и вектор имеет координаты .
Ответ: .
Задача 6. Вычислите угол, который образуют единичные векторы и , если известно, что векторы и взаимно перпендикулярны.
Решение.
Из того, что векторы и взаимно перпендикулярны следует, что их скалярное произведение равно 0.

Так как имеем:
8+8 cos = 0
cos = –1, = 1800
Ответ: π.
|