IV. Примеры решения задач. Решение. 1) По правилу параллелепипеда сложения трех некомпланарных векторов в пространстве имеем: = 2)

Решение.   1) По правилу параллелепипеда сложения трех некомпланарных векторов в пространстве имеем: = 2) =

3) = – , где К – середина ребра АА'.

Задача 2. Даны три вектора , , . Найти разложение вектора по базису .

Решение.

Обозначим коэффициенты разложения вектора по базису через x, y, z. Тогда . Запишем это соотношение в координатах:

Получили систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решая ее, получим x = 2, y = –3, z = 1 и .

Ответ: .

Задача 3. Даны три силы , и , приложенные к одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения М₁(5;3;–7) в положение М₂(4;–1;–4).

Решение.

Если вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора , то работа А этой силы определяется равенством А = .

Найдем силу , являющуюся равнодействующей данных сил , т.е.

, .

Вектор перемещения имеет координаты .

Найдем скалярное произведение в координатах:

= 2∙(–1)+(–3)∙(–4)+1∙3 = 13.

Ответ: А = 13.

Задача 4. Даны вершины треугольника: А(–1;–2;4), В(–4;–2;0) и С(3;–2;1). Определить его внутренний угол при вершине В.

Решение.

Внутренний угол при вершине В треугольника АВС можно определить как угол между неколлинеарными векторами и . Найдем координаты этих векторов.

Используем формулу cos

cos B = . Следовательно,

= arccos = 45⁰

Ответ: = 45⁰.

Задача 5. Вектор , коллинеарный вектору , образует острый угол с осью Oz. Зная, что , найти его координаты.

Решение.

Так как коллинеарен вектору , то его координаты пропорциональны координатам , т.е. . Найдем длину вектора :

Учитывая, что , получим

156,25α² = 2500 α² = 16 α = 4.

Отсюда следует, что имеет координаты или .

Но вектор образует острый угол с осью Oz, следовательно >0, где – направляющий вектор оси Oz, .

Найдем <0, >0. Учитывая, что , получим, что α = – 4 и вектор имеет координаты .

Ответ: .

Задача 6. Вычислите угол, который образуют единичные векторы и , если известно, что векторы и взаимно перпендикулярны.

Решение.

Из того, что векторы и взаимно перпендикулярны следует, что их скалярное произведение равно 0.

Так как имеем:

8+8 cos = 0

cos = –1, = 180⁰

Ответ: π.