Задача 5.

Тонкостенный цилиндр, двигаясь без проскальзывания по горизонтальной плоскости, плавно переходящей в наклонную, закатывается на наклонную горку, на высоту 1м. Какой перепад высот преодолеет цилиндр, если на наклонной части «выключить» трение?

Решение:

1)

Случай с трением. Путь цилиндр двигается так, что его ось относительно плоскости имеет скорость , а нижняя точка цилиндра А (см. рисунок) в момент касания относительно плоскости не движется (нет проскальзывания). . Это может быть только в том случае, если , где - скорость точки А цилиндра относительно его оси. Перед горкой цилиндр массы обладает кинетической энергией , которая складывается из энергии поступательного движения , и энергии вращательного движения . Энергия вращательного движения складывается из суммы энергий движения элементов тела относительно оси вращения. Поскольку вся масса тонкостенного цилиндра сосредоточена в ободе, скорость всех его элементов относительно одинакова: . Поэтому энергия вращательного движения в данном случае определяется просто: . Соответственно полная кинетическая энергия цилиндра при движении по горизонтальной плоскости:

.

Когда цилиндр остановится на горке, то он перестанет двигаться вдоль плоскости и вращаться, при этом вся кинетическая энергия перейдет в потенциальную энергию:

.

В итоге, получаем:

2)

Случай без трения. Если на наклонной плоскости трение «выключить», то при подъеме цилиндр будет продолжать вращаться с постоянной угловой скоростью, вплоть до самой верхней точки, и кинетическая энергия вращения в потенциальную энергию не перейдет. Высота подъема в этом случае определяется из соотношения: . Соответственно, .

3)

Сравнивая высоты из 1) и 2), получаем .

Ответ: Если трение «выключить», высота подъема будет в два раза меньше, т.е. если , то . Сила трения «закатывает» цилиндр на наклонную плоскость.