Понятие устойчивости линейных непрерывных САУ

Система называется устойчивой, если:

1) после снятия воздействия по окончании переходного процесса система возвращается в исходное равновесное состояние;

2) после изменения воздействия на постоянную величину по окончании переходного процесса система приходит в новое равновесное состояние.

Определим условия устойчивости.

Выходная и входная величины в системе связаны с помощью дифференциального уравнения. Решение этого дифференциального уравнения при заданном значении входной величины представляет собой закон изменения выходной величины во времени. Но это решение состоит из двух составляющих:

где - вынужденная составляющая, однозначно связанная с изменением входной величины. Она определяется как частное решение неоднородного дифференциального уравнения с правой частью;

- свободная составляющая, изменяющаяся во времени в течение переходного процесса.

Именно свободная составляющая и определяет переходной процесс в системе. Определяется она общим решением однородного дифференциального уравнения

в виде суммы составляющих

где - постоянные интегрирования, определяющиеся начальными условиями;

- корни характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение составляется на основании исходного дифференциального уравнения:

В общем случае корни являются комплексными. При этом они образуют пары сопряженных корней:

где может быть положительной или отрицательной величиной.

При этом, если , эта составляющая будет затухать. Наоборот, при получатся расходящиеся колебания.

Отсюда следует, что общим условием затухания всех составляющих, а значит, и всего переходного процесса в целом является отрицательность действительных частей всех корней характеристического уравнения системы.

Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, он даст расходящуюся составляющую переходного процесса и система будет неустойчивой.

Изображая корни характеристического уравнения системы точками на комплексной плоскости, как показано на рис.3.1, условие устойчивости можно сформулировать еще так: условием устойчивости САУ является расположение всех корней характеристического уравнения в левой комплексной полуплоскости.

w

0 a

Рис.3.1

Мнимая ось w плоскости корней служит границей устойчивости. При этом можно выделить три случая выхода САУ на границу устойчивости, которые характеризуются соответственно:

1) нулевым корнем

2) парой чисто мнимых корней

3) бесконечно удаленным корнем

Бесконечность на комплексной плоскости рассматривается как бесконечно удаленная точка, противоположная нулевой. Поэтому она тоже является границей между правой и левой полуплоскостями.

Вычисление корней весьма просто лишь для характеристического уравнения первой и второй степени. Но ведь для определения устойчивости не нужно знать абсолютное значение корней, необходимо знать лишь, в какой полуплоскости они находятся. Поэтому важное значение приобретают правила, позволяющие определять устойчивость системы без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости.

К основным критериям устойчивости относятся алгебраический критерий Гурвица и частотные критерии Михайлова и Найквиста.