Описание установки и вывод расчетной формулы

В работе используются маятник Обербека, укрепленный на стене (рисунок 1), линейка, штангенциркуль, секундомер.

Особенности вращения твердого тела вокруг неподвижной оси удобно изучать на примере маятника Обербека – устройства, состоящего из крестовины, жестко закрепленной на двойном шкиве с разными радиусами (рисунок 1). На стержнях крестовины симметрично оси вращения закрепляются четыре одинаковых грузика 5. Расстояния от грузиков до оси вращения можно изменять.

Рисунок 1 Схема маятника Обербека:

1, 2 ‑ двойной шкив с радиусами r₁ и r₂; 3 ‑ ось подшипника;

4 ‑ стержни с делениями; 5 ‑ грузики; 6 ‑ гиря; 7 ‑ мерная линейка

Поочередно на большой и малый шкивы можно наматывать нить, к концу которой привязана гиря 6 известной массы. Тем самым изменяется момент силы, вызывающий вращательное движение системы. Момент инерции вращающейся системы можно изменять, передвигая грузики 5 на стержнях. Главной измеряемой величиной в данной работе является промежуток времени t, за который гиря 6 проходит определенный путь h.

Выведем формулы для расчета момента силы и момента инерции. Выражения закона динамики образуют систему уравнений:

(1)

Первое уравнение относится к поступательному движению гири 6. Результирующая сила F равна разности сил, действующих на гирю:

F = mg – T, (2)

где T – сила натяжения нити.

Из (2) и первого уравнения системы (1) T выразится как:

T = mg – F = m (g – а). (3)

Второе уравнение системы (1) относится к вращательному движению маятника, где момент силы М определяется силой натяжения T и плечом этой силы r, равным радиусу того шкива, на который намотана нить:

M = T × r = m (g – а) r. (4)

В выражении (4) не учитывается момент M_тр сил трения, действующих в системе. Если им нельзя пренебречь, то результирующий момент примет вид:

M = m (g – а) r – M_тр. (5)

Чтобы оценить влияние сил трения, можно проделать эксперимент на основе закона сохранения энергии. Задать гире некоторую высоту h₁ и предоставить систему самой себе. Маятник начнет вращаться, при этом гиря опустится, а затем поднимется до высоты h₂. Если h₁ > h₂, то произошла потеря потенциальной энергии, затраченная на работу против сил трения. Оценить эту потерю по относительной разнице . Если d £ 0,1 (10%), то моментом сил трения в работе можно пренебречь.

При отсутствии сил трения момент вращающей силы находят по формуле (4). Линейное a и угловое e ускорения – из кинематических уравнений:

. (6)

Первое задание выполняется при постоянном моменте инерции, но различных моментах силы М₁ и М₂ (используются различные шкивы – радиусов r₁ и r₂). Различны будут угловые ускорения e₁ и e₂. Моменты инерции для двух случаев

и , (7)

должны быть равны (в пределах допустимой погрешности), т.к. распределение массы относительно оси вращения не меняется, т.е. J₁ = J₂ = J, тогда должны быть равны и отношения:

. (8)

В этом и состоит проверка второго закона Ньютона для вращательного движения в задании 1

Для вывода расчетной формулы задания 2 объединим соотношения, описывающие динамику вращательного движения маятника Обербека и поступательного движения гири:

; M=m (g – a) r; ; .

Получим обобщенную формулу для расчета момента инерции:

, (9)

где t – время движения гири; h – расстояние, пройденное гирей массой m; r – радиус шкива, на который наматывается нить; g = 9,81 м/с² – ускорение свободного падения.

Поскольку а<<g, то (9) можно представить в виде:

. (10)

В этой формуле постоянный коэффициент можно вычислить один раз и применять для дальнейших расчетов:

J = k×t² . (10а)