Пошаговый способ решения системы уравнений.

I шаг прямого хода:

1.1. Делим первое уравнение системы на коэффициент, стоящий перед x₁

1.2. Из второго уравнения вычитаем первое, умноженное на 2:

Или, умножая это уравнение на -5,

1.3. Из третьего уравнения вычитаем первое, умноженное на 3:

Или, умножая это уравнение на 5,

1.4. В результате получаем следующую систему уравнений:

II шаг прямого хода:

Из третьего уравнения вычитаем второе:

Обратный ход

Из второго уравнения получаем: .

Из первого уравнения:

2. Способ решения с помощью расширенной матрицы.

Расширенная матрица системы имеет вид:

Шаг 1. Умножая первую строку расширенной матрицы на числа(-2/5), (-3/5) и прибавляя полученные строки соответственно ко второй , третей строке, исключаем переменную х₁из всех строк, начиная со второй

Получаем матрицу:

Шаг 2. Учитывая, что в полученной выше матрице а₂₂=-а₃₂ складываем вторую и третью строки. Таким образом переменная х₂ исключается из третьей строки.

Получили расширенную матрицу треугольного вида:

, которая соответствует равносильной системе уравнений

,

откуда, используя обратный ход метода Гаусса(см.выше 1 способ), найдём из второго уравнения х₂=150 ; из первого уравнения х₁=200.

Замечание. Обратный ход метода Гаусса можно также провести с расширенной матрицей (треугольной формы) полученной системы. Для этого данную матрицу приводят к диагональному виду, что позволяет осуществить полное выделение переменных, удобное для их нахождения.

Если на прямом ходе с помощью первой, второй и т.д. строки мы добивались получения нулевых элементов ниже главной диагонали, то на обратном ходе с помощью последней, предпоследней и т.д. строки добиваемся получения нулевых элементов выше главной диагонали матрицы.

На примере данной задачи это будет выглядеть следующим образом:

а) В полученной треугольной матрице умножаем третью строку

на (-3/5) и складываем со второй строкой, получаем равносильную матрицу:

б) умножаем третью строку последней матрицы на 4, вторую строку на 15. Полученные строки складываем с первой, получаем равносильную диагональную матрицу.

, что равносильно системе уравнений

Решение окончено.