КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Вычисление собственных значений матрицы Методом ДанилевскогоСущность метода Данилевского заключается в том, что исходная матрица А: после преобразования подобия приводится к матрице Фробениуса Р: , то есть , где – неособенная матрица. Так как подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими полиномами, то имеем: . Вначале нужно строку привести в строку . Предполагая, что , разделим все элементы – го столбца матрицы А на . Тогда её -ая строка примет вид . Затем вычтем - й столбец преобразованной матрицы, умноженный соответственно на числа , из всех остальных ее столбцов. В результате получим матрицу, последняя строка которой имеет желаемый вид 0 0 … 1 0. Произведя те же операции над единичной матрицей, получим матрицу , где при . (1) . (1') Эти операции равносильны умножению справа матрицы на матрицу А. , (2) где при , при . (2') Для подобия матриц нужно умножить полученную матрицу на слева: . Очевидно, обратная матрица имеет вид . Обозначим , то есть ,
где (3) при , (3') то есть полученная матрица С подобна матрице А. Продолжая этот процесс, получим матрицу Фробениуса. , если все промежуточных преобразований возможны. Пример. Привести к виду Фробениуса матрицу: . Решение.Вычисления будем располагать в таблице 4. В строках 1–4 помещаем элементы данной матрицы и контрольные суммы в . Элемент . В строке I записываем элементы третьей строки матрицы , вычисляемые по формулам (1), (1'): , , , . Сюда же помещаем элемент . Число -3,375 должно совпасть с элементами строки I , не входящими в контрольный столбец (после замены элемента на -1). В строках 5–8 в графе выписываем третью строку матрицы , которая совпадает с четвертой строкой исходной матрицы А. В строках 5–8 в соответствующих столбцах выписываем элементы матрицы , вычисляемые по формулам (2), (2'):
Преобразованные элементы третьего столбца получаются с помощью умножения исходных элементов на . Например, Таблица 4
Соответственно, последняя строка матрицы В имеет вид (0 0 1 0). Для контроля пополним матрицу В преобразованными по аналогии элементами: Полученные результаты записываем в столбце Σ/ . Прибавив к ним элементы третьего столбца, будем иметь контрольные суммы: для строк 5–8 (столбец Σ) . Преобразование , произведенное над матрицей В и дающее матрицу , изменяет лишь третью строку матрицы В, то есть седьмую строку таблицы. Элементы строки получаются по формулам (3), ( ) . Например: . Те же преобразования проводим над столбцом Σ: . В результате получаем матрицу С, состоящую из строк 5, 6, , 8 с контрольными суммами Σ. Далее, приняв матрицу С за исходную и выделив элемент , продолжим процесс аналогичным образом. Таким образом, матрица Фробениуса имеет вид Отсюда, решая уравнение , найдем собственные значения исходной матрицы. 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. Заменим график функции на отрезке , , , параболой, проведенной через точки , , где – середина отрезка . Эта парабола есть интерполяционный многочлен второй степени с узлами . Нетрудно убедиться, что уравнение этой параболы имеет вид: , где . Проинтегрировав эту функцию на отрезке , получим . Суммируя полученные выражение по , получим квадратурную формулу Симпсона (или формулу парабол): . Оценка погрешности.Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся следующей теоремой. Теорема.Пусть функция имеет на отрезке непрерывную производную четвертого порядка . Тогда для формулы Симпсона справедлива следующая оценка погрешности: , где . Замечание.Если число элементарных отрезков, на которые делится отрезок , четно, т.е. , то параболы можно проводить через узлы с целыми индексами, и вместо элементарного отрезка длины рассматривать отрезок длины . Тогда формула Симпсона примет вид: , а вместо последней оценки будет справедлива следующая оценка погрешности: .
|