Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Вычисление собственных значений матрицы Методом Данилевского




Читайте также:
  1. I. ПОНЯТИЕ МАТРИЦЫ.
  2. II 6.2. Вычисление
  3. II этап. Определение общей потребности в собственных финансовых ресурсах.
  4. II. Индукция методом исключения
  5. VI этап. Оптимизация соотношения внутренних и внешних источников формирования собственных финансовых ресурсов.
  6. А. ЛАБОРАТОРНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ СЧЕТА КАПЕЛЬ
  7. Алгоритм решения ЗЛП графическим методом
  8. Аппарат собственных связей спинного мозга и двухсторонних связей с головным мозгом.
  9. Атомарность значений атрибутов
  10. Атомарность значений атрибутов

Сущность метода Данилевского заключается в том, что исходная матрица А:

после преобразования подобия приводится к матрице Фробениуса Р:

,

то есть , где – неособенная матрица. Так как подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими полиномами, то имеем:

.

Вначале нужно строку привести в строку . Предполагая, что , разделим все элементы – го столбца матрицы А на . Тогда её -ая строка примет вид

.

Затем вычтем - й столбец преобразованной матрицы, умноженный соответственно на числа , из всех остальных ее столбцов.

В результате получим матрицу, последняя строка которой имеет желаемый вид 0 0 … 1 0.

Произведя те же операции над единичной матрицей, получим матрицу

,

где при . (1)

. (1')

Эти операции равносильны умножению справа матрицы на матрицу А.

, (2)

где при ,

при . (2')

Для подобия матриц нужно умножить полученную матрицу на слева: .

Очевидно, обратная матрица имеет вид

.

Обозначим , то есть

,

 

где (3)

при , (3')

то есть полученная матрица С подобна матрице А.

Продолжая этот процесс, получим матрицу Фробениуса.

,

если все промежуточных преобразований возможны.

Пример. Привести к виду Фробениуса матрицу:

.

Решение.Вычисления будем располагать в таблице 4. В строках 1–4 помещаем элементы данной матрицы и контрольные суммы в . Элемент . В строке I записываем элементы третьей строки матрицы , вычисляемые по формулам (1), (1'):

, ,

, .

Сюда же помещаем элемент . Число -3,375 должно совпасть с элементами строки I , не входящими в контрольный столбец (после замены элемента на -1).

В строках 5–8 в графе выписываем третью строку матрицы , которая совпадает с четвертой строкой исходной матрицы А. В строках 5–8 в соответствующих столбцах выписываем элементы матрицы , вычисляемые по формулам (2), (2'):

 

 

Преобразованные элементы третьего столбца получаются с помощью умножения исходных элементов на . Например,

Таблица 4

Номер строки Столбцы матрицы Σ Σ/
   
 
 
      8
I   -1   -0,875   0,125 -1   -0,5   -3,375
-1 1,25 0,25 3,5 3,25
  5,5 0,5 -1 6,0 5,5   11,25
1,25 0,25 11,5
7/   58,5   11,5  
II -0,67 0,017 -1 -0,127 -0,97 -2,83  
-1,8333 0,021 0,004 1,782 -0,026 -0,047
10 58,5 -2,666 0,094 -0,5811 -6,3589 -9,512 -9,606
11,5
10/     -227,4597 17,818 23,16165 -302,4 -488,966  
III   0,0044 0,0783 0,1 -1,3298 -2,14  
  -227,45 0,008 -0,1226 -0,1827 4,22 3,9228 3,91148
17,818
23,16165
-302,497
  -261 -960    

Соответственно, последняя строка матрицы В имеет вид (0 0 1 0). Для контроля пополним матрицу В преобразованными по аналогии элементами:





Полученные результаты записываем в столбце Σ/ . Прибавив к ним элементы третьего столбца, будем иметь контрольные суммы:

для строк 5–8 (столбец Σ) .

Преобразование , произведенное над матрицей В и дающее матрицу , изменяет лишь третью строку матрицы В, то есть седьмую строку таблицы. Элементы строки получаются по формулам (3), ( ) . Например:

.

Те же преобразования проводим над столбцом Σ:

.

В результате получаем матрицу С, состоящую из строк 5, 6, , 8 с контрольными суммами Σ. Далее, приняв матрицу С за исходную и выделив элемент , продолжим процесс аналогичным образом.

Таким образом, матрица Фробениуса имеет вид

Отсюда, решая уравнение , найдем собственные значения исходной матрицы.

6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
МЕТОД СИМПСОНА (МЕТОД ПАРАБОЛ)

Заменим график функции на отрезке , , , параболой, проведенной через точки , , где середина отрезка . Эта парабола есть интерполяционный многочлен второй степени с узлами . Нетрудно убедиться, что уравнение этой параболы имеет вид:

,

где .

Проинтегрировав эту функцию на отрезке , получим

.

Суммируя полученные выражение по , получим квадратурную формулу Симпсона (или формулу парабол):

.

Оценка погрешности.Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся следующей теоремой.



Теорема.Пусть функция имеет на отрезке непрерывную производную четвертого порядка . Тогда для формулы Симпсона справедлива следующая оценка погрешности: , где

.

Замечание.Если число элементарных отрезков, на которые делится отрезок , четно, т.е. , то параболы можно проводить через узлы с целыми индексами, и вместо элементарного отрезка длины рассматривать отрезок длины . Тогда формула Симпсона примет вид: , а вместо последней оцен­ки будет справедлива следующая оценка погрешности:

.


Дата добавления: 2015-01-05; просмотров: 16; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.02 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты