КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Модифицированные методы ЭйлераПервый модифицированный метод Эйлера. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения искомой функции в точках с помощью формулы: . Затем находится значение правой части исходного уравнения в средней точке и затем полагается , . Эти формулы являются расчетными формулами первого модифицированного метода Эйлера. Первый модифицированный метод Эйлера является одношаговым методом со вторым порядком точности. Второй модифицированный метод Эйлера – Коши.Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения . Затем приближения искомого решения находятся по формуле: . Эти формулы являются расчетными формулами второго модифицированного метода Эйлера – Коши. Второй модифицированный метод Эйлера – Коши так же, как и первый, является одношаговым методом со вторым порядком точности. Оценка погрешности.Приближенная оценка погрешности модифицированных методов Эйлера осуществляется как и для простого метода Эйлера с использованием правила Рунге. Так как оба модифицированных метода Эйлера имеют второй порядок точности, т. е. , то оценка погрешности примет вид: . Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши модифицированными методами Эйлера с заданной точностью . Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага , последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение . Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие: . Приближенным решением будут значения . Пример 2.Применим первый модифицированный метод Эйлера для решения задачи Коши , рассмотренной ранее в предыдущем примере. Возьмем шаг . Тогда , и расчетная формула первого модифицированного метода Эйлера имеет вид: , где , , , . Решение представим в виде таблицы 7. Таблица 7
Третий столбец таблицы 3 содержит приближенное решение . Сравнивая полученное приближенное решение с точным решением, представленном в таблице 2, видим, что погрешность составляет . Пример 3.Применим второй модифицированный метод Эйлера – Коши для решения задачи Коши , рассмотренной ранее в примерах 1 и 2. Так же, как и ранее, зададим шаг . Тогда . В соответствии с данными формулами получим расчетную формулу метода Эйлера – Коши: , где , , , , . Решение представим в виде таблицы 8.
Таблица 8
Таблица 8 заполняется последовательно по строкам, сначала первая строка, затем вторая и т. д. Третий столбец таблицы 8 содержит приближенное решение . Сравним полученное приближенное решение с точным решением, представленном в таблице 7. Видим, что погрешность составляет .
|