КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Метод Рунге – КуттаМетод Рунге – Кутта является одним из наиболее употребительных методов высокой точности. Метод Эйлера можно рассматривать как простейший вариант метода Рунге – Кутта. Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения с начальным условием . Как и в методе Эйлера, выберем шаг и построим сетку с системой узлов . Обозначим через приближенное значение искомого решения в точке . Приведем расчетные формулы метода Рунге – Кутта четвертого порядка точности: , , , , , . Оценка погрешности.Оценка погрешности метода Рунге – Кутта затруднительна. Грубую оценку погрешности дает правило Рунге. Так как метод Рунге – Кутта имеет четвертый порядок точности, т. е. , то оценка погрешности примет вид: . Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности с заданной точностью . Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага , последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение . Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие: . Приближенным решением будут значения . Пример 4.Методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности найдем решение на отрезке следующей задачи Коши . Возьмем шаг . Тогда . Расчетные формулы имеют вид: , , , , , . Задача имеет точное решение: , поэтому погрешность определяется как абсолютная величина разности между точными и приближенными значениями . Найденные приближенные значения решения и их погрешности представлены в таблице 9. Таблица 9
|