Модели процесса и структуры.

* В общем случае каждому элементу a_i из А соответствует некоторое подмножество элементарных процессов взаимодействия Di ⊂ D, через которые a_i воздействует на другие элементы множества А. Каждому элементу a_j из А соответствует также некоторое множество элементарных процессов взаимодействия Dj ⊂ D, через которые a_j подвергается воздействию других элементов из А. Пересечение Di ⋂ D_j = D_ij множество элементарных процессов взаимодействия, через которые a_i воздействует на a_j (для упрощения в дальнейшем примем, что D_ij – одноэлементные множества: D_ij = {d_ij}). В противном случае соответствующее обстоятельство будем специально оговаривать. Будем считать, что аналогичным образом выделены подмножества элементов E_i, E_j, E_ij, обеспечивающие, соответственно, множества процессов взаимодействия D_i, D_j, D_ij.

* Будем считать, что главным предикатам Φ₁‑Φ_r соответствуют отношения ψ_A, ψ_B, ψ_D, ψ_E строгого частичного порядка и отношения α, α^‑1, β, β^‑1, σ, σ^‑1, φ, φ^‑1, ψ_AF, ψ^‑1_AF, ψ^‑1_BF, ψ_DF, ψ^‑1_DF, ψ_EF, ψ^‑1_EF. Предположим, что на всех моделях, как полной системы, так и ее частей (основная и дополнительная системы, структура и процесс системы) сохраняются главные операции W.

* Сформулируем теперь модели процесса и структуры системы. Далее, если это не требует специальных разъяснений, все дальнейшее изложение будем вести для модели конкретной реализации системы с набором главных предикатов Φ; множества А, В, D, Е линейно упорядочены; для описания связей выберем отношения α, β, σ, φ, ψ_в, , и, соответственно , α^‑1, β^‑1, σ^‑1, φ^‑1, ψ^‑1_в. Для описания взаимосвязи с F выберем отношение ψ _вf. Выбор такого набора отношений соответствует наиболее распространенной схеме формирования системы, уже описанной в начале раздела в виде процесса достижения цели, когда для достижения системы целей F формируется множество элементарных процессов В. Будем считать, что главные предикаты Φ₁ ÷ Φ_r описывают только выбранные бинарные отношения. Можно выбрать и другой набор отношений; при любом наборе отношений, устанавливающих взаимосвязи между всеми множествами А, В, D, E, F, будут справедливы результаты, полученные ниже.

* Модели процесса и структуры системы определим в следующем виде.

Процесс Р системы S (назовем его также полным системным процессом) – это множество взаимосвязанных элементарных процессов:

P = < {B, D}, W, Φ_p >; Φ_р ⊂ Φ. (3.3.2)

Структура С системы S (назовем ее также полной системной структурой) – это множество взаимосвязанных элементов системы:

С = < {A, E}, W, Φ_c >; Φ_с ⊂ Φ. (3.3.3)

* В соответствии с принятыми исходными положениями моделирования системы имеет место взаимнооднозначное соответствие между элементами множеств А и В. Взаимнооднозначное соответствие имеет место также между элементами множеств E и D; следовательно, имеет место взaимнооднoзначное соответствие между элементами множеств‑носителей в (3.3.2) и (3.3.3). Имеется также взаимнооднозначное соответствие между каждыми двумя упорядоченными парами (а_i, e_j ) и (в_i, d_j), что однозначно следует из исходных положений описания с помощью сигнатуры Φ целенаправленного процесса формирования модели (3.3.1). Следовательно, имеется взаимнооднозначное соответствие между элементами сигнатур Φ_р и Φ_с , Φ_р ⇔ Φ_с. Далее, любая операция из W_c, например, объединение элементов а, а ∈ А и е, е ∈ E, взаимнооднозначно соответствует такой же операции из W_p, т.е., в данном случае, объединению процессов в, в ∈ B и d, d ∈ D. Следовательно, W_p = Wc. Но так как W_p ⊂ W_c , W_c ⊂ W и W \ {W_p ⋃ W_c} = ∅, то Wp = W_c = W. Итак, доказана следующая

Теорема 3.1. Для модели системы S модели процесса Р и структуры С изоморфны.

* Модели полных, основных и дополнительных системных объектов.

На основе (3.3.1)–(3.3.3) сформулируем следующий результат.

Теорема 3.2. Модель полной системы S – это совокупность моделей процесса Р и структуры С:

S = < P,C,Φ(α),Φ(α^‑1),Φ(β),Φ(β^‑1)> (3.3.4)

* Полный процесс системы Р мы представляем как объединение основного процесса достижения цели Р_a и системного процесса взаимодействия Р_е. Хотя нами рассматриваются системы, создаваемые для реализации процесса, все результаты системной технологии могут быть применены для систем, предназначенных для реализации структуры. В системах, предназначенных для реализации системного процесса достижения цели, основные элементы системы а реализуют элементарные процессы достижения цели в. Но элементарные процессы достижения цели не могут объединяться в системный процесс P_а, минуя элементарные процессы взаимодействия d. Следовательно, необходимо описать вклад, вносимый элементарными процессами взаимодействия, в системный процесс достижения цели. Это участие не является целенаправленным, как в случае элементарных процессов достижения цели в, и, как правило, приводит к некоторому ухудшению P_a. Допустимое влияние элементарного процесса взаимодействия должно, видимо, заключаться в том, чтобы вносить какие‑либо допустимые изменения в процесс достижения цели P_a при «передаче» предмета труда от одного элементарного процесса достижения цели в_i к некоторому другому элементарному процессу достижения цели в_j. Обозначим это допустимое изменение δ_d – изменение результатов некоторого элементарного процесса в_i при «передаче» предмета труда к некоторому другому «следующему» элементарному процессу в_j. Множество этих изменений обозначим Δ_d, т.е. δ_d ∈ Δ_d. Отсюда вытекает следующая теорема.

Теорема 3.3. Каждый элементарный процесс взаимодействия d, d ∈ D, между некоторыми двумя элементарными процессами достижения цели в_i и в_j (в_i, в_j ∈ В) объединяет в себе собственно элементарный процесс взаимодействия d₀ и элементарный процесс обеспечения ограничения δ_d:

d = { d₀, δ_d }; d₀ ∈ D₀; δ_d ∈ Δ_d; D = { D₀, Δ_d }. (3.3.5)

Системный процесс взаимодействия Р_e, в свою очередь, реализуется в системе элементами взаимодействия е. Но элементарные процессы взаимодействия d, которые ими реализуются, не могут быть объединены в системный процесс взаимодействия P_е без участия элементарных процессов достижения цели в. Участие элементарных процессов достижения цели в в процессе P_e (аналогично учету участия элементарных процессов d в процессе P_a) должно быть учтено введением ограничений δ_в на изменение характеристик элементарных процессов взаимодействия при «переходе» через некоторый элементарный процесс из В («обеспечение взаимодействия между элементарными взаимодействиями»). Множество этих ограничений обозначим Δ_в, т.е. δ_в ∈ Δ_в.

Отсюда следует

Теорема 3.4. Каждый элементарный процесс в, в ∈ В, реализуемый элементом а ∈ А, объединяет в себе собственно элементарный процесс достижения цели в₀ и элементарный процесс обеспечения ограничения δ_в:

в = {в₀ , δ_в }; в₀ ∈ В₀ ; δ_в ∈ Δ_в , В = { В₀ , Δ_в }. (3.3.6)

Пересечения D₀ ⋂ Δ_d и В₀ ⋂ Δ_в не обязательно пустые множества.

* Полученные результаты и наличие взаимнооднозначных соответствий между элементами множеств А и В, а также между элементами множеств Е и D, соответственно, позволяют сформулировать следующую теорему.

Теорема 3.5. Элементы а и е разложимы на части, реализующие части процессов в и d:

а = {а₀, δ_a}; а₀ ∈ A₀; δ_a ∈ Δ_a; А = {A_{0 ,} Δ_a};

e = { e₀, δ_е }; e₀ ∈ E₀; δ_е ∈ Δ_e; E= { E_0, Δ_e}; (3.3.7)

* В качестве обобщения сформулируем следующий результат.

Теорема 3.6. Элементы а, е (а ∈ А, е ∈ Е) и элементарные процессы в, d (в ∈ В, d ∈ D) в модели системы S разложимы на части, образующие структуры C_a, C_e и процессы Р_a, Р_е основной S_a и дополнительной S_е систем.

Следуя доказанному, сформулируем следующие результаты.

* Системный процесс достижения цели Р_a представит собой объединения элементарных процессов достижения цели в₀ и процессов обеспечения ограничений на допустимое изменение результатов элементарных процессов достижения цели δ_d при передаче результатов одного элементарного процесса достижения цели к другому. Отсюда следует, что

Модель основного системного процесса Р_a имеет вид:

Р_a = < { B₀, Δ_d }, W, Φ_p >. (3.3.8а)

* Системный процесс взаимодействия, в свою очередь, представит собой объединение элементарных процессов взаимодействия d₀ и процессов обеспечения ограничений на допустимое изменение характеристик взаимодействия δ_в при «передаче взаимодействия» через процессы достижения цели. Отсюда следует, что

Модель дополнительного системного процесса Р_е имеет вид:

Р_е =< { D₀, Δ_a }, W, Φ_p >. (3.3.8b)

* Следуя (3.3.7) и (3.3.8), можно сформулировать следующие определения структур.

Модель основной системной структуры C_a имеет вид:

C_a = < { A₀, Δ_e }, W, Φ_c >. (3.3.9а)

Модель дополнительной системной структуры С_e имеет вид:

С_e = < {Δ_a, E₀ }, W, Φ_c >. (3.3.9b)

• Исходя из (3.3.4), где доказано, что система – это объединение процесса и структуры, определим основную и дополнительную системы.

Модель основной системы S_a имеет вид:

S_a = <{P_a, C_a }, W, Φ>; S_a = <{A₀, B₀, Δ_d, Δ_e}, W,Φ>. (3.3.10)

Модель дополнительной системы S_e имеет вид:

S_e= <{P_e, C_e}, W, Φ>; S_e = <{Δ_a, Δ_в , D₀, E₀}, W, Φ>. (3.3.11)

* Другими словами, полная система S – это объединение полного системного процесса Р и полной системной структуры С, основная система S_a – это объединение системного процесса достижения цели P_a и структуры для его реализации С_a, а дополнительная система S_e – это объединение системного процесса взаимодействия P_e и структуры для его реализации C_e.