Что представляет дискретный ряд Фурье? Привести 2 формы записи дискретного ряда Фурье.

Ответ: Известно, что периодическая с периодом ограниченная кусочно-гладкая функция может быть представлена своим рядом Фурье:

,

где: . Преобразование Фурье: Для непериодических функций ряд Фурье заменяется интегралом Фурье:

где: .

Связь между рядом Фурье и преобразованием Фурье: Рассмотрим функцию , равную нулю вне интервала . С одной стороны, для нее можно определить преобразование Фурье, а с другой стороны, ее можно считать периодически продолженной и определить для нее коэффициенты ряда Фурье. Тогда имеем: Сравнивая полученные выражения, можно сделать вывод, что: т.е. коэффициенты ряда Фурье для периодического продолжения функции определяют значение преобразования Фурье в дискретных точках . Дискретное преобразование Фурье: Для последовательности , состоящей из действительных или комплексных чисел определяется дискретное преобразование Фурье (ДПФ) :

,

где: — дискретные экспоненциальные функции.
Так как дискретные экспоненциальные функции являются ортогональными, т.е. удовлетворяют условию: то справедливо обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ):