Порядок расчёта электрических цепей с источниками напряжения несинусоидальной периодической формы.

Ответ: Если все элементы электрической цепи с несинусоидальными токами и напряжениями линейны, т.е. параметры элементов не зависят от токов и падений напряжения, то анализ электромагнитных процессов в них можно проводить, используя разложение в ряды Фурье. Расчет цепи при несинусоидальных токах проводится аналогично расчету при синусоидальных, но он должен выполняться отдельно для каждой гармоники, т.е. алгоритм расчета следующий: 1)представить действующую в цепи ЭДС или ток рядом Фурье; 2)любыми методами расчета цепей синусоидального тока произвести расчет отдельно для каждой гармоники спектра; 3)по полученному спектру искомых величин найти требуемые значения.

Пусть требуется найти активную мощность в цепи на рис.10.3 , где приложенное напряжение равно u(t)=10+20sin(1000t 30 )+5sin(3000t+45 ) В, а параметры элементов R = 20 Ом, C = 50 мкФ и L = 5 мГн.

Спектр приложенного напряжения содержит постоянную составляющую или нулевую гармонику, а также первую и третью гармоники. Реактивные сопротивления цепи зависят от частоты. Для k-й гармоники их можно представить через сопротивления на частоте основной гармоники в виде: X_Lk=k ₁L=kX_L1; X_Ck=1/k ₁C=X_c1/k; где: x_L1=₁L=5 Ом и x_C1=1/(₁C)=20 Ом - индуктивное и емкостное сопротивления на частоте основной гармоники. При расчете реактивных сопротивлений можно формально считать постоянную составляющую нулевой гармоникой. При этом x_L0=0, а x_C0= , что соответствует отсутствию этих элементов и вполне согласуется с теорией цепей постоянного тока, где в статических режимах реактивных элементов нет. Общее комплексное сопротивление цепи на частоте k-й гармоники будет:

Подставляя в это выражение значения k = 0, 1, 3, получим значения общих комплексных сопротивлений на всех гармониках в виде Z₀ = 20 Ом ; Z₁ = 10 j5 Ом ; Z₃ = 2+j9 Ом . Из этих выражений видно, что комплексные сопротивления на разных частотах могут иметь реактивную составляющую разного знака. Отсюда комплексные значения токов - I₀ = U₀/Z₀ = 10/20 = 0.5 А; m₁ = m₁/Z₁ = 20e ^j30 /(10 j5) = 1.78e ^j3.4 А; m₃ = Um₃/Z₃ = 5e ^j45 /(2+j9) = 0.54e ^j32.4 А. Полученные комплексные значения составляющих спектра токов можно представить рядом Фурье в виде:

i = 0.5+1.78sin(1000t 3.4 )+0.54sin(1000t 32.4 ) А. Теперь можно определить активную мощность в цепи как:

P=U₀I₀+ U₁I₁Cos  ₁+ U₃I₃Cos  ₃=

10 0.5+ (20 1.78/2)  Cos[-30^o –(-3.4^o)]+ (5 0.54/2)  Cos[45^o –(-32.4^o)]=22.2 Вт