Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Численное интегрирование.

Читайте также:
  1. Практическая работа № 4. Численное интегрирование
  2. Тема 3. Численное дифференцирование. Метод Рунге-Ромберга.
  3. Тема 4. Численное интегрирование.
  4. Численное дифференцирование.

Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определённого интеграла.

Численное интегрирование применяется, когда:

  1. Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы (массива) значений в узлах некоторой расчётной сетки.
  2. Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции. Например, .

В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона — Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

где — число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки называются узлами метода, числа — весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона). Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.

Частным случаем является метод построения интегральных квадратурных формул для равномерных сеток, известный как формулы Котеса. Метод назван в честь Роджера Котса. Основной идеей метода является замена подынтегральной функции каким-либо интерполяционным многочленом. После взятия интеграла можно написать

где числа называются коэффициентами Котеса и вычисляются как интегралы от соответствующих многочленов, стоящих в исходном интерполяционном многочлене для подынтегральной функции при значении функции в узле ( — шаг сетки; — число узлов сетки, а индекс узлов ). Слагаемое — погрешность метода, которая может быть найдена разными способами. Для нечетных погрешность может быть найдена интегрированием погрешности интерполяционного полинома подынтегральной функции.

Частными случаями формул Котеса являются: формулы прямоугольников ( ), формулы трапеций ( ), формула Симпсона ( ), формула Ньютона ( ) и т. д.


Дата добавления: 2015-01-19; просмотров: 23; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Численное дифференцирование. | Метод прямоугольников.
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2018 год. (0.012 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты