Метод Гауса.

Описанные выше методы используют фиксированные точки отрезка (концы и середину) и имеют низкий порядок точности (0 — методы правых и левых прямоугольников, 1 — методы средних прямоугольников и трапеций, 3 — метод парабол (Симпсона)). Если мы можем выбирать точки, в которых мы вычисляем значения функции , то можно при том же количестве вычислений подынтегральной функции получить методы более высокого порядка точности. Так для двух (как в методе трапеций) вычислений значений подынтегральной функции, можно получить метод уже не второго, а третьего порядка точности:

.

В общем случае, используя точек, по формуле можно получить метод с порядком точности , т.е. получаются точные значения для полиномов степени не выше .

Значения узлов метода Гаусса по точкам являются корнями полинома Лежандра степени . Значения весов вычисляются по формуле , где - первая производная полинома Лежандра.

Для узлы и веса имеют следующие значения : веса : .

(Полином определен на отрезке ).

Наиболее известен метод Гаусса по пяти точкам.