Регрессионный анализ

Повторим постановку задачи построения математической модели в виде совокупности уравнений регрессии.

где: y_j – j-й результативный показатель эффективности (отклик);

К – общее количество результативных показателей эффективности;

х_i – i-й фактор, влияющий на отклики;

М – общее количество факторов.

Основной показатель качества представления экспериментальных данных. В т.ч. результатов имитационного моделирования, уравнениями регрессии – величина стандартной ошибки, вычисляемой по формуле:

Кроме этого показателя рекомендуется использовать дополнительные показатели, вводимые на основе дисперсионного анализа. Отметим, что если показатель не накладывает никаких требований на переменные, по которым производится аппроксимация, то дисперсионный анализ требует, чтобы переменные, по которым производится аппроксимация подчинялись бы нормальному закону.

Дисперсионный анализ основан на разложении общей изменчивости результативного показателя (общей дисперсии) на объяснённую дисперсию, которую удалось объяснить изменением переменных, вошедших в уравнение регрессии, и остаточную регрессию, которую объяснить не удалось. Для проведения дисперсионного анализа вычисляются.

1. Объяснённая сумма квадратов:

с количеством степеней свободы:

среднее значение суммы квадратов:

2. Остаточная сумма квадратов:

с количеством степеней свободы:

среднее значение суммы квадратов:

3. Общая сумма квадратов:

с количеством степеней свободы:

Должно выполняться равенство:

4. Критерий Фишера

с количеством степеней свободы:

5. Коэффициент множественной детерминации, который показывает, какую часть изменения результативного показателя удалось объяснить изменением переменных, вошедших в уравнение регрессии.

с количеством степеней свободы:

По статистическим таблицам для критерия Фишера и коэффициента множественной детерминации с вышеприведёнными количествами степеней свободы и рекомендуемого уровня значимости α=0.05 находят их критические значения. Если вычисленные значения критерия Фишера и коэффициента множественной детерминации не меньше критических значений, то результаты аппроксимации признаются удовлетворительными.

6. Ввиду того, что коэффициенты уравнения регрессии вычисляются по случайным величинам, то они и сами являются случайными величинами. Поэтому можно вычислить их стандартные ошибки и по ним определить критерий Стьюдента и уровни их значимости.

где

- диагональный элемент матрицы

чем больше величина , тем лучше.

По статистическим таблицам для вычисления , для степеней свободы, для рекомендованного уровня значимости вычисляем критическое значение критерия Стьюдента . Если вычисленное значение превышает критическое, то считаем, что уровень значимости не превышает рекомендуемого значения , и поэтому вычисленные значения коэффициентов приемлемы для отображения экспериментальных данных. В противном случае рекомендуется подобрать другие значения переменных в аппроксимирующее уравнение регрессии, в виде каких-либо функций от аргументов.

Оценка влияния факторов на результативные показатели функционирования моделируемой информационной системы (отклики) производится по двум параметрам: удельным весам и коэффициентам эластичности. Если в исследуемом уравнении регрессии все факторы независимы, т.е. нет произведений факторов между собой, то оценка степени влияния факторов производится по каждому фактору отдельно, а полученные результаты справедливы для всех диапазонах изменения всех факторов. Если же в уравнениях регрессии имеются произведения факторов между собой, то влияние каждого фактора оценивается по его изменению в заданном диапазоне при средних значениях других факторов.

Изменение j – го результативного показателя, вносимого i – м фактором определяется по формуле

или

, , ,

где - значение j – й функции при максимальном значении i(g) – исходного или общего фактора, влияние свободного члена уравнения регрессии и всех других факторов, кроме i(g) – го и его произведений с другими факторами не учитывается;

- значение j – й функции при минимальном значении i(g) – го бюджетного или общего фактора, влияние свободного члена уравнения регрессии и всех других факторов, кроме i(g) – го и его произведений с другими факторами не учитывается.

Удельный вес i – го фактора в изменении j – го результативного показателя вычислим по формуле:

; , .

Коэффициент эластичности i – го фактора в j – м результативном показателе условий жизни вычислим по формуле:

; , .

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится j – й результативный показатель при изменении i – го фактора на один процент.

В качественном плане знак плюс говорит о положительном влиянии фактора, то есть увеличение фактора приводит к увеличению результативного показателя, а знак минус указывает на отрицательное влияние фактора, то есть при увеличении фактора уменьшается результативный показатель.