Математический аппарат факторного анализа

Факторный анализ – раздел многомерного статистического анализа, объединяющий методы оценки размерности множества наблюдаемых переменных посредством исследования структуры ковариационных или корреляционных матриц. Основное предположение факторного анализа заключается в том, что корреляционные связи между большим числом наблюдаемых переменных факторов определяется существованием меньшего числа гипотетических ненаблюдаемых переменных или факторов. Общей моделью факторного анализа служит следующая линейная математическая зависимость:

(2.3.1.1)

где F_p – общие факторы,

U_i – характерные факторы,

e_i – случайные ошибки,

Предполагается, что R<M задано, случайные величины e_i независимы между собой и с величинами F_p и U_i. Постоянные коэффициенты a_ip – называются факторными нагрузками (нагрузка i–той переменной на k–й фактор). Значения a_ip, b_i, считаются неизвестными параметрами, подлежащими оценке.

Главными целями факторного анализа являются: сокращение числа переменных (редукция данных) и определение структуры взаимосвязей между переменными, т.е. классификация переменных. Поэтому факторный анализ используется или как метод сокращения данных, или как метод классификации.

Для проведения факторного анализа прелагается методика, включающая в себя следующие этапы:

1. Сбор эмпирических данных и подготовка корреляционной (ковариационной) матрицы.

2. Выделение первоначальных (ортогональных) факторов.

3. Вращение факторной структуры и содержательная интерпретация результатов факторного анализа.

Выделение первоначальных факторов – это, прежде всего, выбор метода факторного анализа. Наиболее используемыми методами являются:

1. Метод главных компонент, в котором поиск решения идёт в направлении вычисления собственных векторов (факторов), а собственные значения характеризуют дисперсию (разброс) по факторам.

2. Метод главных факторов, под которым понимают применение метода главных компонент к редуцированной корреляционной матрице. Редуцированной корреляционной матрицей называют матрицу парных коэффициентов корреляции, в которой на главной диагонали вместо единиц указаны значения оценок общностей.

Основное различие двух моделей факторного анализа состоит в том, что в анализе главных компонент предполагается, что должна быть использована вся изменчивость переменных, тогда как в анализе главных факторов используется только изменчивость переменной, общая и для других переменных. В большинстве случаев эти два метода приводят к весьма близким результатам. Однако анализ главных компонент часто более предпочтителен как метод сокращения данных, в то время как анализ главных факторов лучше применять с целью определения структуры данных.

Вращение факторной структура – это «поворот» факторов в пространстве для достижения простой структуры, в которой каждая переменная характеризуется преобладающим влиянием какого-то одного фактора.

Выделяется два класса вращения: ортогональное и косоугольное. К ортогональным методам относятся методы «Varymax» (Kaiser, 1958) – максимизируется разброс квадратов факторных нагрузок по каждому фактору в отдельности, что приводит к увеличению больших нагрузок и к уменьшению маленьких.

При интерпретации факторов можно начать работу с того, что выделить наибольшие факторные нагрузки в данном факторе. Для выделения можно использовать приёмы, аналогичные выделению значимых коэффициентов корреляции, то есть оценивать факторные нагрузки, сравнивая их по величине с критическими значениями коэффициентов корреляции. Для подбора названий факторов нет формализованных приёмов, можно довериться интуиции. В качестве предварительного варианта можно использовать имя переменной, которая вошла в фактор с наибольшей нагрузкой.

Анализ главных компонент является методом сокращения или редукции данных, т.е. методом сокращения числа переменных. Отметим, что в процессе последовательного выделения факторов они включают в себя все меньше и меньше изменчивости. Решение о том, когда следует остановить процедуру выделения факторов, главным образом зависит от точки зрения на то, что считать малой "случайной" изменчивостью. Это решение достаточно произвольное, однако имеются некоторые рекомендации, позволяющие рационально выбрать число факторов.

Критерий Кайзера. Сначала можно отобрать только факторы, с собственными значениями, большими 1. По существу, это означает, что если фактор не выделяет дисперсию, эквивалентную, по крайней мере, дисперсии одной переменной, то он опускается. Этот критерий предложен Кайзером (Kaiser, 1960), и является, вероятно, наиболее широко используемым.

На первом этапе анализа ИСД, полученных после применения периодизации, воспользуемся факторным анализом как методом сокращения данных.

На втором этапе проведём факторный анализ как метод классификации и проведём интерпретацию полученных результатов.

На третьем этапе произведём сравнение полученных результатов.