II. Замена переменной в неопределенном интеграле

Напомним, что дифференциал функции y = f(x) есть произведение производной функции на дифференциал ее независимой переменной:

dy = f¢(x) dx.

Метод замены переменной: положим . Получим . Тогда

Во многих случаях замена переменной x = j (t) (или t = f (x)) позволит упростить неопределенный интеграл

Следует заменить переменную интегрирования x и в подынтегральной функции, и под знаком дифференциала:

(3)

После того, как интеграл взят, следует возвратиться к исходной независимой переменной x, предварительно выразив t из соотношения x = j (t).

Если замена переменной производится в виде t = f (x), то следует выразить переменную x из соотношения t = f (x), найти формулу замены дифференциала старой независимой переменной, а затем воспользоваться формулой (3). При этом оформлять решение рекомендуется следующим образом.

Пример: найти множество первообразных функции

@ 3.