Интегрирование по частям. Для определенного интеграла формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

Для определенного интеграла формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

§4. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей.

Если функция y=f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [a, b], а плоская область P задана соотношением

P={(x,y): a £ x £ b, 0 £ y £ f(x)},

то площадь S области P выражается формулой

Если функция x=f(y) неотрицательна и непрерывна на отрезке [c, d], а плоская область P задана соотношением

P={(x,y): c £ y £ d, 0 £ x £ f(y)},

то площадь S области P выражается формулой

Пример. Вычисление площади криволинейной трапеции, прилегающей к оси Ox

 

Вычислим площадь фигуры P, ограниченной синусоидой y=sinx, прямыми x=p/6 и x=p/2, а также осью абсцисс:

 

Рис.3. P={(x,y): p/6 £x£p/2, 0£ y£ sinx}

 

Площадь фигуры P равна:

 

 

@ 1. Вычислите площадь фигуры P, ограниченной параболой y=4–x² и осью абсцисс.

 

 

Если функция меняет знак на промежутке [a; b], то определенный интеграл связан с площадями фигур (см. рис. ниже) следующим образом: