Интегралы от четных и нечетных функций по симметричному промежутку

Вычислим площадь фигуры P, ограниченной параболой y=x^1/2, прямой y=1 и осью ординат. Поскольку P – криволинейная трапеция, прилегающая к оси Oy (Рис. 4), из уравнения параболы выразим переменную x: x=y².

Рис.4. P={(x,y): 0£ y£1, 0£x£ y²}

Площадь фигуры P равна:

Если промежуток интегрирования является неограниченным, или подынтегра­льная функция не ограничена на промежутке интегрирования, соответствующие криволинейные трапеции оказываются также неограниченными. Площади таких трапеций выражаются несобственнымиинтегралами.

Если функция f(x) неотрицательна на отрезке [a, b], то кри­во­линей­ная тра­пе­ция, прилегающая к оси Ox, является частным случаем кри­во­линей­ной трапе­ции относительно оси Ox, возникающем при g(x)º0, xÎ[a, b].

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b], и для всех xÎ[a, b] справедливо неравенство f(x) ³ g(x) (рис.6). Тогда площадь плоской области P, заданной соотношением

P={(x,y): a £ x £ b, g(x) £ y £ f(x)},

выражается формулой

Пусть функции f(y) и g(y) непрерывны на отрезке [c, d], и для всех y Î[c, d] справедливо неравенство f(y) ³ g(y) (рис.7). Тогда площадь плоской области P, заданной соотношением

P={(x,y): c £ y £ d, g(y) £ x £ f(y)},

выражается формулой

Пример. Вычислим площадь фигуры P, ограниченной параболами y=x^1/2 и y=x²:

Рис.8. P={(x,y): 0 £ x £ 1, x² £ y £ x^1/2}

Плоская фигура P – криволинейная трапеция относительно оси Ox, для которой f(x)=x^1/2, g(x)=x², а пределы интегрирования a и b можно найти, найдя точки пересечения парабол, или, что то же самое, решив следующую систему уравнений:

Будем иметь: a=0, b=1.

.

Пример: вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

Объём тела вращения

Объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой и прямыми х=а, х=в, у=0, равен