IV. Интегрирование по частям

Если u(x) и v(x) – дифференцируемые функции, и существует то

(5)

Для применения (5) необходимо правильно разбить подынтегральное выражение на две части: u(x) и dv(x). Применение формулы может оказаться эффективным, если функция u(x) «упрощается» при дифференцировании. К таким функциям относятся:

· полиномы, т.к. производная полинома степени n есть полином степени n–1;

· трансцендентные функции (логарифмы и обратные тригонометрические функции), поскольку их производные есть рациональные дроби или иррациональные функции.

þ За функцию u(x) следует принимать ту часть подынтегрального выражения, которая «упрощается» при дифференцировании, если только оставшаяся часть подынтегрального выражения dv(x) относительно легко интегрируется.

Восстановить функцию v(x) по ее дифференциалу dv(x) можно с точностью до произвольной постоянной. При применении формулы (5) эта постоянная полагается равной нулю.

@ 9.