КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Определенный интеграл.
Рассмотрим функцию f(x), непрерывную на отрезке [a, b]. Разобьем [a, b] на n частей точками a=x0< x1<…<xn=b. Введем обозначения:
Нижней и верхней интегральными суммами называются, соответственно, суммы следующего вида:
Рассмотрим нижнюю и верхнюю интегральные суммы функции f(x), неотрицательной и строго монотонно возрастающей на [a, b]. Разобьем отрезок [a, b] на n=4 равные части точками a=x0< x1< x2 <x3<x4=b. В силу монотонности функции f(x) будут справедливы следующие соотношения:
f(xi)< f(x)< f(xi+1) "xÎ( xi, xi+1) Þ mi = f(xi), Mi = f(xi+1), i=0,1,2,3.
С учетом этих соотношений, на Рис.1 изображены геометрические интерпретации, соответственно, нижней и верхней интегральных сумм функции f(x):
Рис. 1. Геометрические интерпретации нижней и верхней интегральных сумм
Часть плоскости, ограниченная графиком неотрицательной на отрезке [a, b] функции f(x), прямой x=a, прямой x=b и осью Ox называется криволинейной трапецией.
Таким образом, нижняя интегральная сумма функции f(x) численно равна сумме площадей соответствующих разбиению отрезка [a, b] прямоугольников, целиком содержащихся в криволинейной трапеции, верхняя – сумме площадей прямоугольников, целиком содержащих криволинейную трапецию.
Рассмотрим произвольное разбиение [a, b] на n частей и обозначим через Ln длину наибольшего из полученных промежутков Dxi: 
Теорема 1. Нижняя и верхняя интегральные суммы непрерывной на отрезке [a, b] функции f(x) имеют конечный общий предел при неограниченном увеличении числа точек деления отрезка [a, b], если число точек деления увеличивается таким образом, что Ln ® 0:
Из теоремы 1 следует, что при неограниченном увеличении числа точек деления [a, b] сумма площадей прямоугольников, целиком содержащихся в криволинейной трапеции и сумма площадей прямоугольников, целиком содержащих криволинейную трапецию, имеют общий предел, который принимают за площадь криволинейной трапеции.
Общий предел нижней и верхней интегральных сумм функции f(x) при соответствующем неограниченном увеличении числа точек деления отрезка [a, b] называется определенным интегралом от этой функции на отрезке [a, b] и обозначается
þ Определенный интеграл от неотрицательный функции f(x) на отрезке [a, b] численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.
Если F(x) – произвольная первообразная функции f(x) на отрезке [a, b], то
- формула Ньютона-Лейбница
Определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a, b] равен разности значений ее произвольной первообразной на правой и левой границах промежутка.
Определенный интеграл на промежутке равен разности значений первообразной (приращению первообразной на этом промежутке):
Свойства определенного интеграла:
1. 
2. 
3. 
4. 
, где с - некоторая точка, лежащая внутри отрезка 
Пример:Если 
Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 125; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |