Для специальности 7.05050203, 8.05050203 «Оборудование и технологии

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению курсовой работы по курсу «Компьютерные технологии,

математическое моделирование и методы оптимизации в ОМД»

для специальности 7.05050203, 8.05050203 «Оборудование и технологии

пластического формоизменения конструкций машиностроения»

Утверждено

редакционно-издательским

советом университета,

протокол № от . .2011

Харьков 2011

Методические указанияк выполнению курсовой работы по курсу «Компьютерные технологии, математическое моделирование и методы оптимизации в ОМД» для специальности 7.05050203, 8.05050203 «Оборудование и технологии пластического формоизменения конструкций машиностроения» / Состав. В.Н. Левченко, В.А. Евстратов. – Х.: НТУ «ХПИ», 2011. – 52 с.

Составители: В.Н. Левченко

В.А. Евстратов

Рецензент: В.Я. Даниленко

Кафедра «Обработка металлов давлением»

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Математическое моделирование можно рассматривать как один из методов познания реального мира в период формирования так называемого информационного общества, как интеллектуальное ядро быстро развивающихся информационных технологий [1]. Под математическим моделированием в технике понимают адекватную замену исследуемого технического устройства или процесса соответствующей математической моделью и ее последующее изучение методами вычислительной математики с привлечением средств современной вычислительной техники [2].

Методические указания к курсовой работе по «Компьютерным технологиям, математическому моделированию и методам оптимизации в ОМД» устанавливают единые требования к содержанию работы и дают рекомендации по ее выполнению.

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1. Выполнение курсовой работы по «Компьютерным технологиям, математическому моделированию и методам оптимизации в ОМД» – один из важных этапов освоения теории и практики создания систем автоматизированного проектирования в области обработки металлов давлением.

Основные задачи курсовой работы:

1) закрепить знания, приобретенные в процессе теоретического обучения;

2) привить студентам навыки самостоятельной творческой работы при решении инженерных и расчетных задач;

3) научить студентов анализировать процессы обработки металлов давлением на основе создаваемых компьютерных реализаций математических моделей и проведения математических экспериментов;

4) овладеть современными системами программирования и методами расчета с использованием ЭВМ.

1.2. Требования к оформлению курсовой работы приведены в [3].

2. ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

2.1. Каждый студент получает индивидуальное задание, составленное руководителем и утвержденное заведующим кафедрой. В задании формулируется тема курсовой работы: выполнить теоретическое исследование формоизменения, силового режима и нагрузок на инструмент для операции ... (указывается название операции), составить математическую модель и разработать алгоритм и программу расчета на ЭВМ операции ... (указывается название операции).

2.2. При подготовке заданий могут быть учтены пожелания студентов, их опыт работы, навыки работы на ЭВМ, производственная квалификация.

2.4. Руководитель проекта совместно со студентом детально разрабатывает план-график выполнения курсовой работы (обратную сторону задания), устанавливает дату защиты.

3. СОДЕРЖАНИЕ И ОБЪЕМ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

3.1. Содержание и объем курсовой работы устанавливается индивидуальным заданием на курсовую работу.

3.2. Основной целью курсовой работы является создание подсистемы САПР (расчетного модуля) на основе созданной математической модели операции обработки металлов давлением с использованием аналитических методов исследования процессов ОМД. Работа включает следующие основные этапы:

3.2.1. Анализ заданной операции на основе предложенной схемы процесса.

3.2.3. Выбор метода анализа.

3.2.4. Краткая характеристика метода, его возможностей и ограничений.

3.2.5. Построение математической модели операции и ее анализ.

3.2.6. Построение алгоритма анализа формоизменения, силового режима и нагрузок на инструмент.

3.2.7. Выбор системы программирования для реализации алгоритма в виде программы.

3.2.8. Отладка программы на ПЭВМ и выполнение расчетов.

3.2.9. Распечатка программы и результатов расчета.

3.2.10. Оформление работы и подготовка к защите.

3.3. Общими требованиями к содержанию курсовой работы являются:

3.3.1. Детальный анализ определенной операции ОМД и составление ее математической модели.

3.3.2. Исследование влияния различных условий деформации на формоизменение и силовой режим.

3.3.3. Использование ЭВМ для расчетов.

3.4. На защиту должна быть представлена расчетно-пояснительная записка, оформленная согласно действующим требованиям (набор должен осуществляться на компьютере с распечаткой приемлемого качества на принтере), и в обязательном порядке включающая в себя:

1) схему операции с необходимыми размерами и обозначениями;

2) граничные условия (кинематическими, статическими);

3) поле скоростей (или годограф скоростей, механическую схему деформации, этапы деформации и т.д.);

4) математическую модель в аналитическом виде;

5) графики зависимости силового режима и конечного формоизменения от основных параметров процесса;

6) блок-схему алгоритма расчета силового режима и конечного формоизменения, выполненную в соответствии с требованиями [4];

7) общий вид интерфейса программы подсистемы САПР с соответствующими пояснениями;

8) CD-диск с записанным программным кодом (проектом) программы подсистемы САПР, с рабочим дистрибутивом программы, тестовым примером и сопроводительной документацией к ней. Необходимо поместить на него и электронную копию пояснительной записки с вставленными в виде объектов рисунками в форматах bmp, tif или jpg.

В описании программы (проекта) подсистемы САПР обязательно должны содержаться информация о ее назначении и основных функциях, сфере использования, особенностях реализации и системных требованиях, а также ограничениях на использование.

3.4.3. Распечатка программы и результатов расчета (как приложение к расчетно-пояснительной записке).

4. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

4.1. Данная курсовая работа требует неспешной, систематической и сосредоточенной работы. Задания на курсовую работу строго индивидуальны. Студент сможет выполнить эту работу только при активной самостоятельной работе.

4.2. Для методической помощи студенту кафедра выделяет руководителя.

4.3. Руководитель назначает консультации, которые вносятся в расписание занятий по кафедре (устанавливается день, время, место).

4.4. Консультации обязательны для посещения. Студент обязан еженедельно отчитываться перед руководителем о выполненной работе.

4.5. На основе анализа схемы указанного в задании процесса для построения математической модели выбирается тот или иной аналитический метод анализа процессов ОМД (энергетический, вариационный, верхней оценки, метод конечных элементов, инженерный). Выбор метода должен быть обоснован.

4.6. Используя полученные знания в курсах теории пластической деформации, технологии горячей и холодной штамповки, на базе выбранного метода теоретического анализа по соответствующему алгоритму решения таких задач создается математическая модель рассматриваемого процесса.

4.7. Построение алгоритма анализа формоизменения, силового режима и нагрузок на инструмент производится на основе полученной математической модели и с учетом ее особенностей. Для реализации относительно сложных математических моделей требуется использование численных методов [5-16] и (или) методов оптимизации [17-19].

4.8. Для построения оптимального алгоритма рисуется его достаточно подробная блок-схема и ниже приводится ее краткое описание. Последнее должно включать дополнительные комментарии к блок-схеме, необходимые для более полного понимания логической структуры представленного алгоритма. Блок­схема — логическая структура программы в графической форме. Она позволяет не только ускорить создание алгоритма вычислений и оптимизировать его, но и избежать множества проблем и ошибок уже на этой стадии создания подсистемы САПР. Блоки в обязательном порядке должны быть пронумерованы. Сложные и большие блок-схемы для удобства можно разбивать на подсхемы и реализовывать в виде отдельных модулей. Большие надписи можно выносить за пределы блоков. Для быстрого и качественного рисования блок-схем на компьютере можно воспользоваться, например, пакетом MS Visio. Несложный пример такой блок-схемы для процедуры нахождения корня трансцендентного уравнения методом дихотомии показан на рис. 4.1.

4.9. На основе созданного алгоритма реализации математической модели с помощью той или иной среды программирования (расчетного пакета) подсистема САПР реализуется на компьютере.

Выбор той системы программирования (расчетного или математического пакета) производится с учетом сложности математической модели, возможностей и доступности (в том числе и стоимости) системы программирования, системных требований.

Наиболее распространенными современными мощными системами (средами) программирования являются системы, построенные на использовании объектно-ориентированного программирования (ООП) и языков программирования Delphi [20-23], C++ [24-33] и Visual Basic [35-37].

Общий подход к процессу программирования можно свести к набору следующих нехитрых правил, которые эмпирически выработаны профессиональными программистами за последние несколько десятилетий.

Рисунок 4.1 – Блок-схема алгоритма метода дихотомии

При написании компьютерной программы очень важно придерживаться структурированного подхода. Это означает, что определенные действия должны быть выполнены в определенном порядке.

Подготовительный этап при разработке программы включает в себя следующее:

• создание списка задач, которые должна выполнять программа;

• определение сроков решения конкретных задач;

• определение степеней зависимости одной части программы от другой;

• разработка критериев тестирования программы.

Ниже приведены самые общие рекомендации по созданию компьютерных программ.

1. Всегда следует начинать с общей структурной схемы программы; продумать все до мельчайших подробностей, что программа должна делать.

2. Затем необходимо разработать схему пользовательского интерфейса.

3. После реализации первых двух пунктов можно приступать к написанию соответствующего программного кода.

4. Следующим шагом является выполнение отладки и тестирование программы.

5. Написание документации к программе и создание ее дистрибутивного пакета.

При реализации крупного проекта следует разбить его на небольшие, функционально законченные части. Это позволит в дальнейшем собрать его воедино и резко облегчить процесс управления.

Следует помнить, что, учитывая возможности современных систем программирования, самым трудоемким процессом может оказаться не написание самой программы, а ее отладка. Для того чтобы отладить программу, найти и исправить ошибки, убедиться в работоспособности программы и четко очертить область сходимости получаемых результатов можно и нужно использовать тестовые задачи, решение для которых известно или может быть легко оценено. Последние полезно прилагать к дистрибутиву готовой программы, в том числе и в качестве примеров использования программного продукта.

Кроме систем программирования для реализации алгоритмов можно использовать математические пакеты типа MATHCAD [38-40], MATHEMATICA [41, 42], MAPLE [43, 44] и др. самостоятельно или в комбинации со средами программирования. А для реализации расчетов методом конечных элементов возможно использование существующих прикладных пакетов, работающих на базе этого метода, типа ProEngineer, ANSYS, LS-DYNA, ABAQUS.

При реализации подсистемы САПР особое внимание следует уделить визуализации полученных результатов в виде диаграмм, графиков (в т.ч. трехмерных) для различных параметров, чертежей и схем штампов и рабочего инструмента, компьютерных анимаций (двух- и трехмерных) процессов.

5. МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

ПРОЦЕССОВ ОМД НА ОСНОВЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА

5.1. Энергетический метод описан в работах [45-50]. Он используется для анализа конечного формоизменения (особенно в задачах с несколькими степенями свободы течения металла) и анализа силового режима деформирования.

Методика анализа базируется на двух основных уравнениях энергетического метода

; (5.1)

. (5.2)

Здесь

F_д – усиление деформирования, Н;

v_п – скорость инструмента, м/с;

n_о – количество зон, являющихся элементами очага деформации;

V – объем каждой из зон-элементов очага деформации, м³,

s_s – напряжение текучести, в общем случае являющееся функцией , Н/м²;

x_i – интенсивность скоростей деформации, 1/с;

n_к – количество элементов контактной поверхности деформируемой заготовки;

A – площадь каждого из элементов контактной поверхности, м²;

t_к – контактное касательное напряжение, Н/м²;

v_k, v_l – компоненты скоростей в плоскости координатных осей (k и l – обобщенные координаты, которые могут быть координатами x, y, z, r, θ), м/с;

n_р – количество поверхностей разрыва скоростей, которые делят деформируемую заготовку на зоны;

G – площадь каждой из поверхностей разрыва, м²;

t_s – напряжение текучести на сдвиг, Н/м²;

|Dv| – скачок скорости на поверхности разрыва, м/с;

R_р – координата поверхности раздела течения, м.

Из этих уравнений следует, что для решения задачи энергетическим методом необходимо иметь поле скоростей и значения s_s, t_к, t_s. Отсюда вытекает последовательность решения задач энергетическим методом.

5.2. Первый этап анализа – выбор координатной системы. Чаще всего ее привязывают к неподвижному инструменту (рис. 5.1). В некоторых случаях, например при прокатке, осадке на молоте со встречным ударом, координатную систему целесообразно привязать к срединной плоскости заготовки. Вид координатной системы (прямоугольная, цилиндрическая, сферическая и др.) определяется анализируемой задачей.

5.3. Второй этап анализа – формулировка динамических граничных условий. Во многих случаях, например на горизонтальных поверхностях инструмента (бойков, пуансонов, штампов), граничные условия очевидны. Так, для деформирования плоскими бойками (рис. 5.1), если нижний боек неподвижен, а верхний движется со скоростью v_п (которая в общем случае является некоторой функцией времени , но может быть и постоянной), в принятой на рис. 5.1 координатной системе граничные условия записываем в виде

; . (5.3)

Рисунок 5.1 – Схема разбивки деформируемой заготовки на зоны

Так же очевидны граничные условия

; , . (5.4)

Условия (5.3) и (5.4) можно рассматривать как условия непроницаемости, т.е. как условия, при которых частицы деформируемой заготовки не проникают в инструмент.

В некоторых случаях граничные условия не совсем очевидны. Например, при осадке по схеме, приведенной на рис. 5.1, имеется две степени свободы течения: вправо от поверхности и влево от нее. Отсюда возникает граничное условие вида

. (5.5)

В общем случае значение x_р может быть и не известно. Оно будет определено из принципа минимума полной энергии деформации.

5.4. Третий этап анализа – разбивка заготовки на зоны. Наиболее распространенная модификация энергетического метода базируется на использовании простейших разрывных полей скоростей. Разрывным называется такое поле, в котором на некоторых поверхностях какая-либо из компонент скорости изменяется скачком (см. рис. 5.1-5.4). Как видно из рис. 5.1, при , а при . В плоскости функция v_z терпит разрыв, а поэтому заготовку необходимо разделить по плоскости на зоны 1 и 2. Кроме, того, при , а при . Поэтому заготовку необходимо разделить и по линии на зоны 2 и 3. В пределах каждой зоны поле скоростей можно описать непрерывными функциями. Это позволяет выполнить теоретический анализ процесса деформирования.

Каждая из выделенных зон может быть либо очагом деформации (ОД), либо жесткой зоной (ЖЗ). В жесткой зоне все компоненты тензора скоростей деформации нулевые. Например, при редуцировании (см. рис. 5.4) при , откуда , , а значит, из условия постоянства объема . Следовательно, зона 1 – жесткая. При и ξ_r, ξ_θ, ξ_z также равны нулю. Поэтому зона 3 тоже жесткая. Однако при на конической поверхности матрицы , а по оси заготовки , откуда вытекает, что ξ_r, ξ_θ и ξ_z отличны от нуля и в зоне 2 очаг деформации. Знаки ξ_r, ξ_θ, ξ_z устанавливаем без труда. Компонента v_r направлена в сторону уменьшения размера R, значит, , , а из закона постоянства объема следует, что . Таким образом, в очаге деформации заготовка сжимается (поперечное сечение уменьшается), а ее длина увеличивается. Соотношение размеров до и после деформирования определяется из условия постоянства объема .

Следует заметить, что хотя в рассматриваемый момент времени зоны 1 и 3 жесткие, между ними есть различия. В зоне 1 не происходило никакой деформации, зона 3 уже претерпела деформацию. Поэтому структура металла и механические свойства в зонах 3 и 1 существенно отличаются. Это важно будет иметь в виду, когда речь пойдет об анализе силового режима деформирования.

В очаге деформации условимся различать два вида деформации: а) вынужденную, т.е. такую деформацию, которая происходит либо под действием инструмента (не обязательно движущегося!), либо под действием других зон, примыкающих к рассматриваемой; б) свободную, т.е. такую, какая происходит в направлении наименьшего сопротивления и определяется законом постоянства объема.

На рис. 5.2-5.4 стрелками показаны компоненты тензора скоростей деформации. Буквами обозначены: В – вынужденная деформация; С – свободная.

Вынужденная деформация может быть деформацией продольного одноосного сжатия (рис. 5.2 – ξ_z, рис. 5.3 – ξ_z1, ξ_z2) или поперечного одноосного (рис. 5.4 – ξ_x, если матрица для редуцирования имеет клиновую, а не коническую форму), либо двухосного сжатия (рис. 5.3 – ξ_r, ξ_θ в зонах 3 и 4; рис. 5.4 – ξ_r, ξ_θ в зоне 2 для конической матрицы).

Рисунок 5.2 – Схема осадки цилиндрической заготовки

Рисунок 5.3 – Схема осадки на плитах с отверстиями

Рисунок 5.4 – Схема редуцирования в конической матрице

5.5. Четвертый этап анализа – построение поля скоростей.

Определение понятий «скорость деформации», «скорость деформирования» и «поле скоростей» приведены в учебнике [45]. Там же приведены основные формулы, связывающие компоненты скоростей деформации и скоростей деформирования. Поля скоростей для определенных операций ОМД описаны в учебнике [45] и задачнике [46]. Здесь приведем общую методику построения полей скоростей для основных операций ОМД.

Выделяют три вида движения сплошной среды (табл. 5.1).

Таблица 5.1

Основные характеристики видов движения сплошной среды

Вид движения	Координатная система	Компоненты скоростей	Тензор скоростей деформации	Схема деформации
1. Одномерное	1.1	x, y, z
1.2	r, q, z
2. Двумерное	2.1	x, y, z	, ,
2.2	r, q, z	, ,
3. Трехмерное	3.1	x, y, z	, ,
3.2	r, q, z	, ,

5.5.1. Поле скоростей для одномерного движения.

Как видно из таблицы, одномерное движение в прямоугольной системе координат возможно только с изменением объема . Такое движение возможно только на начальных стадиях деформирования пористых материалов (порошков, кипящих сталей).

Вместе с тем одномерное движение возможно в цилиндрической системе. В самом деле, при , имеем: , , следовательно, при условие постоянства объема удовлетворяется.

Для одномерного движения в цилиндрической системе поле скоростей построить очень просто. Пусть , а . Тогда ; . Из условия постоянства объема имеем . Это дифференциальное уравнение достаточно легко решается. Представим его в виде

Очевидно, что выражение в квадратных скобках – это производная от произведения двух функций f(r) и r

.

Интегрирование этого выражения дает , откуда

. (5.6)

Постоянную интегрирования находим из граничных условий. Например, если возьмем трубу и будем обжимать ее по всей длине образующей со скоростью v_п (например, погрузив в жидкость высокого давления), то получим .

Графическая интерпретация этого поля скоростей дана на рис. 5.5.

Рисунок 5.5 – Схема обжатия трубы и поле скоростей

5.5.2. Поля скоростей для двумерного движения.

5.5.2.1. Прямоугольная система координат.

Для этого движения , , . Условие постоянства объема имеет вид . Поэтому, если задать функцию v_x (или v_z), то можно однозначно найти v_z (или v_х)

; . (5.7)

В очаге деформации одна из компонент является вынужденной деформацией. Эту компоненту удается найти из граничных условий, определяемых законом движения деформирующего инструмента. Например, для осадки прямоугольной заготовки с ограничением удлинения (по оси y) имеем следующие граничные условия (рис. 5.6): ; ; . Здесь L – размер заготовки вдоль оси y.

Первое условие показывает; что нижний боек неподвижен, второе – что верхний движется вниз со скоростью v_п. Поэтому можно построить функцию v_z(z).

Рисунок 5.6 – Осадка прямоугольной заготовки (плоская задача)

Первые два граничных условия определяют значения искомой функции на концах отрезка [0, h] . В любой другой точке отрезка при значение функции не определено. В зависимости от условий деформирования функция v_z может быть выпуклой (AnO), линейной (AO) или вогнутой (AmO). В любом случае ее можно представить полиномом

. (5.8)

Так как граничных условий всего два, то однозначно определить коэффициенты a_i можно только для линейной функции и принять . Во многих случаях (если на контактных поверхностях трение незначительно) такая аппроксимация функции v_z достаточна. Однако в более сложных случаях можно взять любое необходимое количество членов. Тогда коэффициенты a_i рассматривать как варьируемые параметры и, исходя из принципа минимума полной энергии деформации, находить их из системы уравнений (5.50) [45 с. 78-183].

Для рассматриваемого случая принимаем

.

Значения a₀ и a₁ находим из граничных условий:

Имея a₀ и a₁, получаем v_z и по формуле (5.7) определяем v_x:

; . (5.10)

Граничное представление этого поля дано на рис. 5.6,б.

Во многих задачах, связанных с анализом процессов ОМД, принимать какую-либо компоненту в виде линейной функции недопустимо.

Пусть, например, необходимо проанализировать процесс плоского выдавливания прямоугольной заготовки (рис. 5.7).

Рисунок 5.7 – Выдавливание прямоугольной заготовки (плоская задача):

а) схема; б) поле скоростей

Здесь, как и при редуцирований (см. рис. 5.4), зоны 1 и 3 – жесткие, зона 2 – очаг деформации. В очаге вынужденная деформация осуществляется неподвижными стенками инструмента (матрицы) при проталкивании заготовки вниз движущимся пуансоном. Любая частица с координатами и перемещается вниз со скоростью v_z и от периферии к оси со скоростью v_x. Чтобы определить v_x и v_z, необходимо использовать два условия: а) постоянство объема; б) непроницаемость инструмента.

Возьмем промежуток времени . С момента до из жесткой зоны 1 перейдет в очаг деформации объем металла . Очевидно, что точно такой же объем металла должен выдавиться из очага деформации в любом сечении z .Отсюда получаем равенство

.

Обозначим ; . После сокращения на dt получаем очень важное уравнение

. (5.11)

Размерность обоих членов – м³/с, а физический смысл произведения – расход металла, проходящего через сечения и . В научной литературе это уравнение иногда называют условием постоянства потока вектора скорости.

Для рассматриваемой задачи ; . По уравнению (5.11) находим:

. (5.12)

По уравнению (5.7) находим:

При . Отсюда , значит,

; . (5.13)

Проверяем полученные значения v_x и v_z по условию непроницаемости инструмента. Для контактной поверхности матрицы, где , вектор полной скорости должен быть направлен вдоль образующей KM, т.е. под углом α к вертикали. Отсюда следует, что должно выполняться условие . Используя уравнения (5.11) и соотношение , находим

.

Кроме того, из уравнений (5.13) следует .

Условия а) и б) удовлетворены и функции (5.13) можно считать корректно описывающими поле скоростей для выдавливания прямоугольной заготовки.

Таким образом, двумерное движение, рассматриваемое в прямоугольной системе координат, однозначно описывается полем скоростей, которое содержит только две компоненты v_x и v_z (исследователь может принять v_x и v_y или v_y и v_z). Такое движение обусловливает плоское деформированное состояние (см. табл. 5.1).

5.5.2.2. Цилиндрическая система координат.

Для этого вида движения , , . Условие постоянства объема имеет вид . Это дифференциальное уравнение содержит две неизвестных функции v_r и v_z. Поэтому, как и в предыдущем случае, если задать функцию v_r (или v_z), то можно однозначно найти v_z (или v_r).

; . (5.14)

Это значительно упрощает анализ процессов ОМД, которые сводятся к осесимметричной задаче.

Например, для осадки цилиндрической заготовки имеем следующие граничные условия

; ; .

Как и для осадки прямоугольной заготовки (см. рис. 5.6), для вынужденной деформации примем . Из граничных условий находим , , . По уравнению (5.14) получаем . После интегрирования и определения из граничных условий ( ) значения получаем окончательно поле скоростей

; . (5.15)

Это поле подобно полю, показанному на рис. 5.6,б.

Таким образом, двумерное движение, рассматриваемое в цилиндрической системе координат, однозначно описывается полем скоростей, которое содержит только две компоненты v_r и v_z. Однако такое движение обусловливает объемное деформированное состояние:

; ; .

5.5.3. Поля скоростей для трехмерного движения

Задачи с трехмерным движением в цилиндрической системе координат в практике ОМД встречаются редко. Это очень сложные задачи. Поэтому на начальном этапе изучения ТОМД их можно не рассматривать.

Рассмотрим трехмерное движение в прямоугольной системе координат. Для этого вида движения , , . Условие постоянства объема имеет вид . Здесь три неизвестных функции. Поэтому для построения поля скоростей необходимо задать какую-либо функцию и дополнительные условия.

Например, ,для осадки прямоугольного параллелепипеда с размерами A×B×H вынужденную деформацию можно задать в виде , а две остальные функции v_x и v_y определить, только приняв какие-либо дополнительные условия, например . Тогда из условия постоянства объема имеем

,

откуда

и .

Совершенно очевидно, что параметр l остается неопределенным. Конечно, его можно принять как варьируемый и найти из уравнения . Однако это резко усложняет задачу. Кроме того, нет никаких оснований считать, что , а не . Поэтому в общем случае построить достаточно точное поле скоростей не удается.

Для отдельных случаев, когда вынужденной является деформация по двум осям, однозначное решение монет быть получено достаточно просто. Например, рассмотрим выдавливание прямоугольной заготовки через пирамидальную матрицу (рис. 5.8).

Рисунок 5.8 – Схема выдавливания через пирамидальную матрицу

Примем осевое течение металла в очаге деформации (течение, при котором направление вектора скорости проходит через начало координат для любой точки пространства в очаге деформации). Введем переменные ; . Тогда можем записать

; . (5.16)

Это важные дополнительные соотношения, позволяющие построить поле скоростей.

Компоненту v_z определим из условия постоянства расхода. Имеем

,

откуда

.

Обозначим . Тогда получаем , а из уравнений (5.16) и . Примем во внимание, что , . Подстановка этих соотношений в уравнения для v_x и v_y приводит последние к виду

; .

Возвращаемся к обозначению находим

; ; . (5.17)

Проверяем, удовлетворяет ли каждое уравнение граничным условиям. Если и (точка на оси), то скорости v_x и v_y должны быть нулевыми.

; ; Верно.

Если , то v_z должна быть равна скорости инструмента. Учитывая, что , получаем:

. Верно.

Проверяем, удовлетворяют ли уравнения условию постоянства объема.

; ; ;

. Верно.

Таким образом, уравнения (5.17) удовлетворяют граничным условиям и условию постоянства объема. Поэтому можно считать, что они достаточно корректно описывают поле скоростей для рассматриваемой задачи.

5.6. Пятый этап анализа – определение компонент тензора скоростей деформации и интенсивности. Имея функции v_x, v_y, v_z (или v_r, v_z), находим

; ; ;

; ; ;

; ; ; ;

;

.

5.7. Шестой этап анализа – выбор s_s, t_к, t_s. В зависимости от температурно-скоростных условий деформирования по справочникам [51-53] выбираем численное значение s_s или задаем . Принимаем . Значение t_к задаем или по формуле Зибеля , или по формуле Кулона , или в какой-либо другой форме [45, с. 131-133; 46, с. 47-49].

5.8. Седьмой этап анализа – определение усилия деформирования по формуле (5.1). Для каждой выделенной зоны вычисляются мощности внутренних сил, трения и сдвига.

Технические трудности интегрирования, особенно вычисления тройных интегралов, выражающих мощности внутренних сил, успешно преодолеваются путем использования численных методов.

5.9. Восьмой этап анализа – программирование решения задачи. При составлении программы необходимо предусмотреть возможность анализа влияния основных параметров на характер формоизменения и силовой режим деформирования.

5.10. Девятый этап – отладка программы и вычисления.

5.11. Последний десятый этап – анализ полученных результатов.

6. МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

ПРОЦЕССОВ ОМД НА ОСНОВЕ МЕТОДА ВЕРХНЕЙ ОЦЕНКИ

6.1. Метод верхней оценки описан в работах [45-48; 50; 51]. Он используется для анализа конечного формоизменения (особенно в задачах с несколькими степенями свободы течения металла) и анализа силового режима деформирования таких операций ОМД, которые могут быть сведены к плоским. Методика анализа базируется на двух основных уравнениях метода верхней оценки

; (6.1)

. (6.2)

Здесь

F_д – усилие деформирования, Н.

v_п – скорость инструмента, м/с;

n_к – количество контактных поверхностей блоков с инструментом;

A_к – площадь контактной поверхности жесткого блока с инструментом, м;

v_к – скорость смещения жесткого блока по контактной поверхности, м/с;

τ_к – касательное напряжение на контактной поверхности (напряжение трения), Н/м²;

n_р – количество поверхностей разрыва скоростей, которые делят заготовку на блоки;

A_р – площадь поверхности разрыва скоростей, м;

v_р – скачок скорости на поверхности разрыва, м/с;

τ_s – напряжение текучести на сдвиг материала деформируемой заготовки, Н/м²;

R_р – координата поверхности раздела течения, м.

Из этих уравнений следует, что для решения задачи методом верхней оценки необходимо построить годограф скоростей, из которого определить скорости v_к и v_р, вычислить площади A_к и A_р и выбрать значения напряжений τ_к и τ_s (или задать их в виде функций). Отсюда вытекает последовательность решения задач методом верхней оценки.

6.2. Первый этап анализа – выбор координатной системы. Чаще всего ее привязывают к неподвижному инструменту (рис. 6.1). Однако в некоторых случаях, которые рассмотрены в разделе 6.5, целесообразно координатные оси совместить с осями симметрии заготовки. Так как метод верхней оценки разработан для анализа только плоских задач, то используется только одна координатная система – xOz.

6.3. Второй этап анализа – формулировка граничных условий. Во многих случаях, например на горизонтальных поверхностях инструмента (бойков, пуансонов, штампов), граничные условия очевидны. Так, для деформирования плоскими бойками (рис. 6.1), если нижний боек неподвижен, а верхний движется со скоростью v_п (которая в общем случае является некоторой функцией времени но может быть и постоянной), в принятой на рис. 1,а координатной системе граничные условия записываем в виде

, ; , ; , . (6.3)

Рисунок 6.1 – Схемы осадки заготовок плоскими бойками

Первые два условия можно рассматривать как условия непроницаемости, т.е. как условия, при которых частицы деформируемой заготовки не проникают в инструмент.

Так же очевидны и граничные условия (см. рис. 6.1, б)

; ; ; ; . (6.4)

Однако в некоторых случаях граничные условия не совсем очевидны. Например, при осадке по схеме, приведенной на рис. 6.1, б, имеется две степени свободы течения: вправо от поверхности и влево от нее. Отсюда возникает граничное условие вида

, . (6.5)

В общем случае значение x_p может быть и не известно. Оно будет определено из принципа минимума полной энергии деформации.

6.4. Третий этап анализа – разбивка заготовки на жесткие блоки. Это один из самых трудных этапов. От него сильно зависит трудоемкость последующего решения и его точность. При разбиении следует учесть не только динамические, но и статические граничные условия, в частности условия контактного трения, а также температурно-скоростные условия.

Совершенно очевидно, что разбивка заготовки на блоки горизонтальными или вертикальными линиями (рис. 6.2) не позволяет реализовать граничное условие , так как блоки жесткие и их вертикальное сжатие невозможно.

Рисунок 6.2 – Схемы разбивки заготовки на блоки

Рисунок 6.3 – Схема разбивки заготовки на блоки и ее формоизменение

Поэтому нужно искать способы разбивки заготовки на блоки наклонными линиями (рис. 6.3).

Примем, например, разбивку, показанную на рис. 6.3,а. Перемещение верхнего бойка вниз оказывается возможным только в том случае, если блоки 1 и 3 сместятся вниз и влево по плоскостям KM и MN. После их смещения на Δh заготовка примет вид, показанный на рис. 6.3,б. Некоторые особенности деформации в месте М можно не принимать во внимание, если рассматривать деформирование как многоэтапный процесс, когда на каждом этапе . Конечно, такая схематизация отличается от той картины, которая имеет место при осадке реальной металлической заготовки. Здесь разрывы сглаживаются (см. рис. 3,в). Однако важно отметить, что и на схеме, и на реальной заготовке сохраняются важные особенности деформирования. Бесконечно близко лежащие друг от друга частицы материала заготовки A и A' в процессе осадки не смещаются относительно друг друга, на схеме это обусловлено тем, что блок 2 – жесткий. На реальном объекте это обусловлено тем, что в нижней части заготовки жесткая зона. Такое состояние возможно в том случае, если: а) нижний торец заготовки не смазан, боек шероховатый и заготовка прилипает к бойку ( ); б) нижняя часть заготовки более холодная, а поэтому в ней напряжение текучести больше, чем в верхней. А вот частицы B и B', выбранные таким же образом, свое относительное положение изменяют. Частица B' принадлежит инструменту, а поэтому смещается только вниз, частица B принадлежит блоку 3 и в процессе осадки заготовки вместе с блоком перемещается вниз на Δh и вправо на . Перемещение частицы B наблюдается и в реальных условиях осадки. Такое перемещение оказывается возможным в двух случаях: а) верхний торец заготовки смазан, боек полирован, а заготовка не прилипает к бойку ( ); б) верхняя часть заготовки более горячая, поэтому в ней напряжение текучести меньше, чем в нижней.

Из этих примеров ясно, что разбиения, показанные на рис. 6.4, корректны для следующих условий: рис. 4,а – , 4,б – ; 4,в – на верхнем бойке , на нижнем .

Рисунок 6.4 - Схемы разбивки заготовки на блоки

Чтобы окончательно уяснить методику разбиения заготовки, рассмотрим задачу, показанную на рис. 6.1,б. Очевидно, что при нужно для применить разбивку по схеме, приведенной на рис. 6.4,а. Получаем блоки 1, 2, 3. При этом и , a . Аналогичную разбивку принимаем для участка . Получаем блоки 4, 5, 6. При этом и , а . Далее очевидно, что для создания в