Інтегральна сума. Визначений інтеграл як границя інтегральної суми.

Нехай на відрізку задана обмежена функція . Розіб’ємо точками , , , ( ) цей відрізок на частин:

, , , , ( , ),

оберемо довільно у кожній з них точку ( ) і обчислимо значення у точках . Позначимо довжину відрізка через ( ) і складемо суму . Діаметром розподілу називають величину . Зрозуміло, що з витікає . (Чи є вірним зворотне твердження?).

Зверніть увагу на зв’язок інтегральної суми з визначеним інтегралом: границю інтегральної суми при , якщо вона не залежить від способу поділу відрізка та вибору точок , називають визначеним інтегралом від функції за проміжком і позначають символом

.

Отже,

. (7.1)

Якщо до функції існує інтеграл (7.1), то вона називається інтегровною на відрізку . Числа і мають назву відповідно нижньої та верхньої границь інтеграла.

При інтегральна сума припускає просте геометричне тлумачення: вона чисельно дорівнює площі ступінчастої фігури, складеної з окремих прямокутників (рис. 7.1) шириною та висотою .

Інтуїтивно ясно (і це можна довести), що площа криволінійної трапеції, обмеженої кривою і прямими , , (див. рис. 7.1), дорівнює інтегралу (7.1).

Якщо функція , то інтегралу (7.1) можна приписати значення площі криволінійної трапеції, розташованої нижче осі , зі знаком мінус (за означенням, вважаємо площу додатковою величиною). Для знакозмінної функції (рис. 7.2) інтеграл (7.1) геометрично являє собою алгебраїчну суму площ фігур, причому площі фігур, розташованих вище осі , входять зі знаком плюс, а площі фігур, розташовані нижче осі - зі знаком мінус.

Значення деяких інтегралів можна одержати безпосередньо з геометричних міркувань. Так, якщо стала в інтервалі ( ), то маємо

.

Даний інтеграл дорівнює площі (рис. 7.3а) прямокутника висотою і шириною .

Якщо , то інтеграл визначається формулою

.

і дорівнює площі трапеції (див. рис. 7.3б).

Л і т е р а т у р а: [4, гл. 6, §4, п. 1; 5, гл. 6, §6.1; 6, гл. ХI, §1,2].