Наближене обчислення визначених інтегралів.

Точне обчислення визначених інтегралів можливо для функції з відомою первісною (формула Ньютона-Лейбніца) або з використанням спеціальних засобів. У більшості випадків, що мають прикладне значення, доводиться обмежуватися методами наближеного обчислення інтегралів.

Зверніть увагу на такі методи, що найчастіше використовуються, у яких наближені формули для інтегралів складаються за набором значень підінтегральної функції , обчислених для сукупності (як правило, рівновіддалених) значень незалежної змінної.

Формула трапецій. Впишемо у криву ламану лінію з вершинами у точках ( ). Замінюючи площу фігури наближено сумою площ трапецій (рис. 7.4), для визначеного інтеграла отримаємо наближену формулу

, (7.10)

що називається формулою трапецій. Тут , .

Додатковий член , що визначає похибку формули (7.10), описується таким виразом

, де , (7.11)

у припущенні, що функція в проміжку має неперервні похідні двох порядків.

Із зростанням похибка формули трапецій (7.10) спадає приблизно як (оскільки у загальному випадку величина в формулі (7.11) залежить від , тому не можна говорити про точну залежність ).

Формула парабол (формула Сімпсона). Ця формула дозволяє одержати більшу в порівнянні з формулою трапецій (7.10) точність (при тому ж обсязі обчислень).

Розділимо інтервал на парне число ( ) рівних частин. Криву на кожній парі відрізків ділення і ( ) замінимо параболою, що проходить через точки , та . Площа фігури, обмежена параболою та прямими , , (рис. 7.5).

.

Шуканий інтеграл визначиться сумою вказаних площ, в результаті одержимо формулу Сімпсона:

. (7.12)

Додатковий член , що визначає похибку формули (7.12), описується таким виразом

, де (7.13)

і спадає приблизно як зі зростанням .

Оцінка похибки чисельного інтегрування. Застосування методів наближеного обчислення інтегралів викликає необхідність у оцінці допущеної при цьому похибки . У формулах трапецій (7.10) і парабол (7.12) похибка , де визначається відповідно формулам (7.11) і (7.13), що дає можливість визначити похибку наближення при фіксованому значенні або обрати таке значення , що забезпечує потрібну точність.

Приклад 7.8. Обчислити визначений інтеграл з точністю до за формулою Сімпсона.

Розв’язок. Оскільки , , при , то з формули (7.4) маємо:

.

Покладемо . Тоді ; ; ; ; ; . За формулою (7.12) знаходимо:

Оцінити похибку чисельного інтегрування можна й іншим способом. Позначимо через праву частину у формулах (7.10) і (7.12). Обчислюємо , подвоюючи на кожному етапі число розбиття проміжку на рівні частини. Обчислення продовжимо доти, поки не буде виконане співвідношення

,

де для формули трапеції; для формули Сімпсона. Вказаний спосіб зветься способом Рунге.

Л і т е р а т у р а: [4, гл. 6, §4, п. 4.5; 5, гл. 6, §6.4, гл. 7, §7.7-7.8; 6, гл. ХI, §5,6,8].