Невласні інтеграли з нескінченною границею.

Нехай функція визначена у проміжку , тобто для , і інтегровна у будь-якій скінченній його частині таким чином, що інтеграл має зміст при будь-якому .

Границя даного інтеграла (скінченна або нескінченна) при називається невласним інтегралом функції від до і позначається символом

. (7.14)

Якщо ця границя скінченна, то кажуть, що невласний інтеграл збігається, а функцію називають інтегровною у нескінченному проміжку .

Якщо ж границя (7.14) нескінченна або не існує, то невласний інтеграл розбігається.

Геометрично невласний інтеграл (7.14) при визначає площу фігури, обмеженої графіком функції , прямою та координатною віссю (рис. 7.6).

Аналогічно визначають невласний інтеграл функції на проміжку від до :

та інтеграл функції від до :

. (7.15)

Граничний перехід у формулі (7.15) виконують при та незалежно одне від одного. Може виявитися, що границя (7.15) не існує, у той час як існує границя при , , яку позначають символом

.

і називають (згідно Коші) головним значенням інтеграла.

Обчислюють невласний інтеграл у два етапи: спочатку знаходять інтеграл на скінченному проміжку, потім виконують відповідний граничний перехід. Тут корисним виявляється таке твердження : якщо для функції існує первісна функція на всьому проміжку , то

,

де і передбачається існування даної границі.

Приклад 7.9. При яких значеннях показника існує невласний інтеграл

, ( ). (7.16)

Розв’язок. Нехай , тоді

,

Якщо , то

.

Отже, інтеграл (7.16) при збігається і дорівнює , при розбігається.

7.5.2. Теореми Порівняння.

Застосування формули Ньютона-Лейбніца дозволяє одночасно вирішати питання, пов’язані зі з’ясуванням збіжності невласного інтеграла та знаходженням його значення. У більш складних випадках, коли, наприклад, первісна невідома, перш ніж приступити до обчислення (точного або наближеного) невласного інтеграла, слід з’ясувати його збіжність, що можна зробити, використовуючи теореми порівняння. Зверніть увагу на методику застосування цих теорем в інтегралах від додатних (невід’ємних) функцій.

Перша теорема порівняння. Якщо хоча б при ( ) має місце нерівність , то із збіжності інтеграла витікає збіжність інтеграла , або із розбіжності інтеграла витікає розбіжність інтеграла .

Друга теорема порівняння. Якщо існує границя

( ),

то інтеграли і одночасно або збігаються або розбігаються.

Теореми порівняння дозволяють з’ясувати збіжність невласного інтеграла, виходячи з аналізу збіжності іншого інтеграла (наприклад інтеграла (7.16)). Як функція порівняння для може бути використана асимптотика при , що описує залежність від при великих значеннях аргумента.

Приклад 7.10. Дослідити збіжність невласного інтеграла

.

Розв’язок. Нехай , тоді

, .

Так як інтеграл розбігається (див. інтеграл (7.16)), то згідно з другою теоремою порівняння інтеграл розбігається.

Вище розглядались інтеграли від невід’ємних функцій ( ). При дослідженні інтегралів від знакозмінної функції корисним є таке твердження: якщо збігається інтеграл , то збігається й інтеграл , що у цьому випадку зветься абсолютно збіжним. В цьому випадку функція називається абсолютно інтегровною у проміжку .

3’ясовуючи абсолютну збіжність інтегралів, можна, скористатися теоремами порівняння.

Приклад 7.11. Дослідити збіжність невласного інтеграла

.

Розв’язок. Розглянемо абсолютну величину підінтегральної функції:

.

Інтеграл збігається (див. інтеграл (7.16)), тоді за першою теоремою порівняння збігається й інтеграл , а інтеграл збігається абсолютно.

Л і т е р а т у р а: [4, гл. 6, §5; 5, гл. 6, §6.8, 6.9; 6, гл. ХI, §7].