Основні закони гидроаеродинаміки

Рух потоку може бути сталим або несталим.

Сталимназивається такий рух рідини або газу, при якому в даній точці простору, займаного потоком, швидкістьі тискне змінюються в часі. Це означає, що через дану точку простору всі частинки проходять з однаковою швидкістю.

У природі частіше зустрічається несталийрух, що відрізняється надзвичайною складністю. При такому русі траєкторії частинок заплутані, перетинаються самі з собою і одна з одною.

Лінія струменя- це деяка лінія, в кожній точці якої напрям дотичної (рис. 2.5) збігається з напрямом вектора швидкості.

Рис. 2.5. Лінія струменя.

Через кожну точку потоку може проходити тільки одна лінія струменя, оскільки інакше вектор швидкості однієї частинки повинен мати два (або декілька) різних напрямів, що фізично неможливе.

Лінії струменя від траєкторій частинок відрізняються тим, що показують напрям руху різних частинок в даний момент часу, а траєкторія фіксує положення однієї і тієї ж частинки в різні моменти часу. І лише при сталої (стаціонарної) течії лінії струменя і траєкторії співпадають.

Якщо рух сталий, то швидкості частинок в даній крапці повинні залишатися постійними в часі V= const. Отже, якщо деяка частинка послідовно переміщатиметься від А до В, від В до С і так далі, як по траєкторії, то її швидкість прийматиме значення V_A; V_B; V_С; ; ... . А це означає, що траєкторія поєднається з лінією струменя.

Струйка - частка потоку, обмежена поверхнею, утвореною лініями струменя, що проходять через деякий малий замкнений контур (рис. 2.6). Тому струйка має таку дуже важливу властивість: через її бічну поверхню розхід рідини (газу) неможливий. Сукупність елементарних струйок утворює потік.

Рис. 2.6. Струйка.

2.4.2. Моделі обтічності

Реальні явища природи дуже складні і недоступні для строго теоретичного аналізу. Тому для побудови теорії того або іншого явища доводиться схематизувати дійсність і брати як об'єкт вивчення не реальне явище, а його спрощену фізичну модель. У теоретичній аеродинаміці прийнятий цілий ряд моделей обтікання тіл потоком повітря.

Перша модель - корпускулярна - була запропонована Ньютоном. При побудові своєї теорії він виходив з припущення, що повітря складається з окремих, не зв'язаних між собою частинок - корпускул, які при взаємодії з тілом втрачають повністю свою кінетичну енергію і прилипають до тіла, а частинки, що не зіткнулися з тілом, не змінюючи напряму, проходять мимо нього. За тілом утворюється застійна область, що йде в нескінченність.

Ця модель мала великий недолік. Вона не розглядувала обтікання тіла і тому давала велику помилку при обчисленні сили опору для щільних шарів повітря.

Останнім часом ця модель почала використовуватися при вивченні явищ обтікань тіл розрідженими газами. Якщо газ є сильно розрідженим, то молекули знаходяться одна від одної на значній відстані і довжина їх вільного пробігу велика. Так, наприклад, на висоті приблизного 160 км над рівнем моря в 1 мм³ повітря міститься всього одна молекула, тобто в 2,7·10¹⁶ раз менше, ніж у землі за нормальних умов. Така газова середа не може вважатися за безперервну, а дійсно складається з розрізнених частинок.

Друга модель - „ідеальна рідина”. Рідина, оточуюча тверде тіло, вважається за суцільну середу, позбавлену властивостей в'язкості і стисливості. Вона не має такого недоліку, як модель Ньютона. Математичне дослідження цієї моделі привело до трьох диференціальних рівнянь руху рідин (рівняння Ейлера), вирішення яких дає можливість визначення швидкості в будь-якій точці потоку (середовища), оточуючого тіло.

Пізніше модель „ідеальна рідина” вивчалася М.Є. Жуковським і його учнями. В результаті дослідження цієї моделі була розроблена теорія, що пояснює причину виникнення піднімальної сили. Виводи теорії, побудованої на моделі „ідеальна рідина”, справедливі, якщо відношення розмірів тіла до довжини вільного пробігу молекул не менше 10⁵.

Третя модель - „стислива рідина” - досліджувалася С.А. Чаплигиним і його послідовниками. В результаті цих досліджень створена наука - газова динаміка, що вивчає закони руху тіл в повітрі і газах з швидкостями, при яких необхідно враховувати стисливість.

Четверта модель - „в'язка рідина” - вивчалася Л. Прандтлем. В результаті виникла теорія межового шару. В даний час вчені-аеродинаміки досліджують складні моделі обтікання тіла в'язкою стисливою середою і модель обтікання тіла плазмою. Остання є високотемпературним середовищем, що складається з суміші електрично заряджених і нейтральних частинок. Будучи четвертим агрегатним станом матерії, плазма електропровідна і взаємодіє з магнітними полями. Середовище, подібне до плазми, утворюється при гальмуванні в атмосфері космічних об'єктів.

Кожна модель враховує тільки істотні (головні) ознаки явищ і відкидає другорядні. Чим більше ознак явищ зберігає модель, тим точніше виводи побудованої на її основі теорії, але тим більше труднощів виникає при її дослідженні.

2.4.3. Рівняння для ідеальної рідини

Рівняння постійності масового розходу або рівняння нерозривностідля ідеальної рідини,опубліковане Ейлером в 1756 р., є застосування закону збереження матерії до струйки рідини. Рівняння нерозривностівстановлює залежність між швидкістю течії рідини в струйке V і площею поперечного перетину струйки S. Виділимо в струйці ідеальної рідини довільний перетин S (рис. 2.7). За 1 секунду через нього пройде деякий об'єм рідини, який є об'ємним розходом Q_υ.

Рис. 2.7. До виведення рівняння нерозривності.

Оскільки рідина ідеальна, стискування і розширення її виключене. Розхід через бічну поверхню струйки неможливий (з визначення струйки), тому для нерозривностіструйки необхідно і достатньо, щоб об'ємний розхід рідини Q_υ через всі перетини струйки був постійним Q_υ = constабо S·V = const. Звідки витікає, що при сталому русіідеальної рідини швидкість обернено пропорційна площі поперечного перетину струйки V= const / S.

З рівняння видно, що якщо площа поперечного перетину стуйки (потоку) зменшуєтьсяу декілька разів, то швидкість течії в це ж число разів збільшується і, навпаки. Ця закономірність справедлива для малих швидкостей течії рідини і повітря. Збільшення швидкості все більше впливатиме на зміну густини. Наприклад, при надзвуковій швидкостітечії повітря зменшення його густини зі зростанням швидкості стає таким значним, що змінюється якісна залежність між змінами поперечних перетинів труби і змінами швидкості.

Рівняння нерозривності виражає закон нерозривностіабо закон постійності масового розходу рідин і газів. Закон нерозривності дуже часто підтверджується явищами природи. Ріка на мілинах, перекочуваннях, в теснинах завжди має велику швидкість течії. В ущелинах дмуть сильні вітри. У техніці закон нерозривності використовують у форсунках, пульверизаторах, соплових апаратах, аеродинамічних трубах.

Рівняння Бернуллі, що виражає закон збереження енергії для рухомого ідеального рідкого середовища, назване по імені академіка Петербурзької академії наук Д. Бернуллі. Вперше воно було опубліковане Д. Бернуллі в 1738 р. в праці „Гідродинаміка”. Рівняння Бернуллі встановлює залежність між тискомі швидкістюструйки (потоку) для ідеальної рідини (газу).

Розглянемо струйку ідеальної рідини в припущенні, що обміну енергією між струйкою і навколишнім середовищем немає (струйка нестислива). На підставі закону збереження енергії можна стверджувати, що енергія струйки в усіх перетинах постійна: