Логарифмическое дифференцирование

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.

Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f(x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей:

Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x.

Отсюда видно, что искомая производная равна

Производные основных элементарных функций ( y=x²; y=x³; y=sinx; y=cosx; y=tgx; y=ctgx; y=e^x; y=lnx; y=1/x; y=√x - вывод). Таблица производных

Производные простых функций

Вывод

• когда и определены,

Вывод

Вывод

Таблица производных

Дифференциал функции y=f(x). Геометрический смысл. Свойства дифференциала

Пусть функция y = f(x) дифференцируема при некотором значении переменной x. Следовательно, в точке x существует конечная производная

Тогда по определению предела функции разность

(1)

является бесконечно малой величиной при . Выразив из равенства (1) приращение функции, получим

(2)

(величина не зависит от , т. е. остаётся постоянной при ).

Если , то в правой части равенства (2) первое слагаемое линейно относительно . Поэтому при

оно является бесконечно малой того же порядка малости, что и . Второе слагаемое - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем первое, так как их отношение стремится к нулю при

Поэтому говорят, что первое слагаемое формулы (2) является главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. Поэтому при малых значениях (и при ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью , т.е.

(3)

Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом данной функции в точке xи обозначают

или

Следовательно,

(4)

или

(5)

Итак, дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.

Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента,

- наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x; в формуле (5) это видно из записи, в формуле (4) – нет.

Дифференциал функции можно записать в другой форме:

(6)
или

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в точке (x; y), при изменении x на величину .