![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Моделі множинної лінійної регресіїПодібні моделі застосовуються у випадку, коли необхідно встановити кількісне співвідношення між результативною ознакою (відгуком) у та певною кількістю незалежних змінних xj(j =( У загальному випадку модель множинної лінійної регресії має вид: у = ао + а1х1 + а2х2 +….+ аmхm (4.1) Щоб краще зрозуміти одержання коефіцієнтів рівняння регресії, розглянемо спочатку просту модель множинної регресії при т =2, тобто у = а0 + а1х1 + а2х2 . Дляпошуку оптимальних значень ao;a1;a2, скористаємося, як і для парної лінійної регресії, методом найменшого квадрата відхилень (МНК), тобто таким вибором цих коефіцієнтів, що забезпечує мінімум функціонала:
де N - кількість експериментальних значень кожного аргументу хj. Диференціюючи вказаний функціонал по параметрах моделі, зажадаємо, як і раніш, щоб
Після введення центрованих значень змінних:
і виконання операції диференціювання з урахуванням формули (4.2), одержимо систему З -х рівнянь (тут і далі піде сумування по i від 1 до N)
Після розрахунку центрованих значень, що входять до формул (4.4), вони використовуються як коефіцієнти системи алгебраїчних рівнянь (4.3). Рішення ж цієї системи відносно невідомих змінних ao;a1;a2, (наприклад за правилом Крамера, або методом Гаусса) дозволяє визначити чисельне значення цих коефіцієнтів регресивної моделі. Для зручності та спрощення розрахунків рекомендується звести експериментальні і розрахункові величини в одну таблицю 4.1. Таблиця 4.1 Таблиця для розрахунку коефіцієнтів рівняння множинної регресії.
Спочатку розраховуються суми стовпчиків, потім для перших трьох стовпчиків розраховуються середні значення шляхом розподілу на N відповідних сум (третій з низу рядок). Отримані середні значення Відзначимо, що коефіцієнти а1і а2 у рівнянні лінійної множинної регресії називаються частковими (іноді чистими) коефіцієнтами регресії у по х1 і по х2, які відображають вплив тільки відповідної змінної. Якщо ми досліджуємо тільки вплив х1на уза допомогою рівняння у = а0 + а1х1,зневажаючи впливом х2, то коефіцієнт а1 уцьому рівнянні називається - повним коефіцієнтом регресії у по хі і чисельно не дорівнює частковому коефіцієнтові а1 у рівнянні лінійної множинної регресії, тому що враховує також і непрямий вплив неврахованої змінної х2. У випадку побудови моделі з трьома і більш незалежними змінними можливе, в принципі, використання допоміжних таблиць, аналогічних таблиці 4.1, з відповідним збільшенням числа стовпців. Однак в даний час при т≥3 ручний метод підрахунку практично не використовується через значне зростання обсягу обчислень. Набагато простіше доручити цю роботу ЕОМ, що має у своєму програмному забезпеченні комплекси стандартних програм кореляційного та регресивного аналізу даних експерименту. Розглянемо найбільш загальний випадок множинної лінійної регресії з т незалежними перемінними хj (j = у = ао + а1х1 + а2х2 +….+ аmхm (4..5) Нехай необхідно визначити значення коефіцієнтів регресивного рівняння. Для цього проведемо заміну натуральних змінних (yi та хji (j =
Очевидно, що для нормованих змінних Виходячи з того, що рівняння(4.5) можна представити у вигляді:
Враховуючи
При цьому вільний член нормованого рівняння множинної регресії α0 = 0. Коефіцієнти рівняння (4.8) знаходимо, як завжди, з умови мінімізації середньої квадратичної похибки, тобто із застосуванням методу найменших квадратів (МНК): де Взявши відповідні похідні та прирівнявши їх до нуля:
і враховуючи, що
де ryx є нормований коефіцієнт кореляції між хj та хk , отримаємо систему т рівнянь , аналогічну системі (4.3), яка була записана лише для двох незалежних змінних а1 і та а2:
Розв’язання системи (4.10) відносно
∆ = r21 1 r23 … r2m ……..…………………. rm1 rm2 rm3 … 1 - головний визначник системи,
Потім, після визначення aj знаходимо a0: Таким чином знайдено коефіцієнти множинної регресії, які входять до формули(4.5).
|