КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Моделі множинної лінійної регресії
Подібні моделі застосовуються у випадку, коли необхідно встановити кількісне співвідношення між результативною ознакою (відгуком) у та певною кількістю незалежних змінних xj(j =(
), що впливають на значення у.
У загальному випадку модель множинної лінійної регресії має вид:
у = ао + а1х1 + а2х2 +….+ аmхm (4.1)
Щоб краще зрозуміти одержання коефіцієнтів рівняння регресії, розглянемо спочатку просту модель множинної регресії при т =2, тобто
у = а0 + а1х1 + а2х2 .
Дляпошуку оптимальних значень ao;a1;a2, скористаємося, як і для парної лінійної регресії, методом найменшого квадрата відхилень (МНК), тобто таким вибором цих коефіцієнтів, що забезпечує мінімум функціонала:
,
де N - кількість експериментальних значень кожного аргументу хj.
Диференціюючи вказаний функціонал по параметрах моделі, зажадаємо, як і раніш, щоб
(4.2)
Після введення центрованих значень змінних:
і виконання операції диференціювання з урахуванням формули (4.2), одержимо систему З -х рівнянь (тут і далі піде сумування по i від 1 до N)
(4.3)
(4.4)
Після розрахунку центрованих значень, що входять до формул (4.4), вони використовуються як коефіцієнти системи алгебраїчних рівнянь (4.3). Рішення ж цієї системи відносно невідомих змінних ao;a1;a2, (наприклад за правилом Крамера, або методом Гаусса) дозволяє визначити чисельне значення цих коефіцієнтів регресивної моделі.
Для зручності та спрощення розрахунків рекомендується звести експериментальні і розрахункові величини в одну таблицю 4.1.
Таблиця 4.1
Таблиця для розрахунку коефіцієнтів рівняння множинної регресії.
| № даних | Уі | Х1і | Х2і | Х1і2 | Х2і2 | Х1і Х2і | Х1і Уі | Х2і Уі |
| У1 | Х11 | Х21 | Х112 | Х212 | Х11 Х21 | Х11 У1 | Х21 У1 | |
| У2 | Х12 | Х22 | Х12і2 | Х222 | Х12 Х22 | Х12 У1 | Х22 У1 | |
| . . . . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . |
| N | УN | Х1N | Х2N | Х1N2 | Х2N2 | Х1N Х2N | Х1N УN | Х2N УN |
| Суми | SУі | SХ1і | SХ2і | S(Х1і)2 | S(Х2і)2 | S(Х1і Х2і) | S(Х1і Уі) | S(Х2і Уі) |
| Сер. знач | 
| 
| 
| . . | . . . | . . . | . . . | . . . |
| . . . | . . . | . . . | N× 
| N× 
| N×
| N× 
| N×
| |
| К-ти Рівн(4.3) | e 
| e
| e
| e
| e
|
Спочатку розраховуються суми стовпчиків, потім для перших трьох стовпчиків розраховуються середні значення шляхом розподілу на N відповідних сум (третій з низу рядок). Отримані середні значення ; ; - використовується в рядку розрахункових значень (другий з низу рядок). Потім з отриманих у четвертому з низу рядку сум віднімаються відповідні розрахункові значення. Отримані різниці заносяться в останній рядок таблиці 4.1 і використовуються як коефіцієнти системи алгебраїчних рівнянь(4.3).
Відзначимо, що коефіцієнти а1і а2 у рівнянні лінійної множинної регресії називаються частковими (іноді чистими) коефіцієнтами регресії у по х1 і по х2, які відображають вплив тільки відповідної змінної. Якщо ми досліджуємо тільки вплив х1на уза допомогою рівняння у = а0 + а1х1,зневажаючи впливом х2, то коефіцієнт а1 уцьому рівнянні називається - повним коефіцієнтом регресії у по хі і чисельно не дорівнює частковому коефіцієнтові а1 у рівнянні лінійної множинної регресії, тому що враховує також і непрямий вплив неврахованої змінної х2.
У випадку побудови моделі з трьома і більш незалежними змінними можливе, в принципі, використання допоміжних таблиць, аналогічних таблиці 4.1, з відповідним збільшенням числа стовпців. Однак в даний час при т≥3 ручний метод підрахунку практично не використовується через значне зростання обсягу обчислень. Набагато простіше доручити цю роботу ЕОМ, що має у своєму програмному забезпеченні комплекси стандартних програм кореляційного та регресивного аналізу даних експерименту.
Розглянемо найбільш загальний випадок множинної лінійної регресії з т незалежними перемінними хj (j = 
), що має наступний вигляд:
у = ао + а1х1 + а2х2 +….+ аmхm (4..5)
Нехай необхідно визначити значення коефіцієнтів регресивного рівняння. Для цього проведемо заміну натуральних змінних (yi та хji (j = ); і = 
) на нормовані змінні:
(4..6)
Очевидно, що для нормованих змінних 
Виходячи з того, що 
рівняння(4.5) можна представити у вигляді:
(4.7)
Враховуючи 
, для варіацій увідносно 
внормованих змінних матимемо:
де 
(4.8)
При цьому вільний член нормованого рівняння множинної регресії α0 = 0.
Коефіцієнти рівняння (4.8) знаходимо, як завжди, з умови мінімізації середньої квадратичної похибки, тобто із застосуванням методу найменших квадратів (МНК):
де 
- розрахункове значення нормованої змінної.
Взявши відповідні похідні та прирівнявши їх до нуля:
. . . 
і враховуючи, що
та 
( k≠j ),(4.9)
де ryx є нормований коефіцієнт кореляції між хj та хk , отримаємо систему т рівнянь , аналогічну системі (4.3), яка була записана лише для двох незалежних змінних а1 і та а2:
(4.10)
- нормований коефіцієнт кореляції між у та xj;
- нормований коефіцієнт кореляції між хj, та хk з числа решти змінних, що залишилися.
Розв’язання системи (4.10) відносно 
проведемо, наприклад, за допомогою правила Крамера: 
( j=1,2,…m), де
1 r12 r13 … r1m
∆ = r21 1 r23 … r2m
……..………………….
rm1 rm2 rm3 … 1
- головний визначник системи, 
визначник Крамера, який отриманий з головного визначника шляхом заміни j-го стовпчика на стовпчик {ryx1 ryx2 ryxm}. Відмітимо, що значення rух та rjk легко знаходяться з експериментальних даних за допомогою (4.6; 4.9). Після визначення аj знаходимо по (4.8)
.
Потім, після визначення aj знаходимо a0:
Таким чином знайдено коефіцієнти множинної регресії, які входять до формули(4.5).
Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 143; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |