Матрична форма моделі множинної регресії

В практиці розрахунків коефіцієнтів множинної регресії часто використовується матрична форма запису рівняння регресії.

В цьому випадку для уніфікації запису рівняння регресії у перший доданок формули (4.5) уведемо штучну змінну х₀=1=const.

При оцінці параметрів цього рівняння в кожному і-муспостереженні фіксують значення у_і і х_ji (i=l,n; j=l,m). Значення результативної змінної y, розрахованої по моделі (4.5), позначимо через . Тоді похибка моделі в i-му спостереженні буде дорівнювати E_i=y_i- ' з математичним сподіванням, рівним 0 і дисперсією , як це було показано вище.

Рівняння регресії між векторами значень Y і незалежних змінних Х записуємо в матричній формі як

µ= Х×А, (4.'

де Х={ху} - матриця значень незалежних факторів (змінних) розмірності

(n×(т+1)) (нагадаємо, що х_і0= 1 (і= 1,n);

µ ={у_i} - вектор стовпець оцінок у і розмірністю (n×1);

А={a_j} - вектор невідомих параметрів моделі, розмірністю (1 × (m+1)) (нагадаємо, що мається також вільний член а_о)

При прийнятих позначках вектор експериментальних значень Y розмірністю (п× 1) може бути представлений у виді

Y= µ +E=XA+E (4.12)

де Е={e_i} вектор помилок моделі розмірністю (п× 1). Очевидно (див. 4.12), що E=Y-XA

Нагадаємо деякі властивості матриць:

(А + В)(С + D)=AC+AD+BC+BD; ( А+В)^T =А^Т +В^Т; (А×В)^T =В^Т -А^т;

АВ =C A=B^-1C;

(A^T)=A^T; E^T=E; A^-1A =||a_ij|| = А²;

A^-1=1/D_A||A_ij||; де А^-1 'зворотна матриця, D_A - визначник матриці А;

A_ij - алгебраїчне доповнення до мінору a_ij.

Звикористанням зазначених властивостей матриць запишемо суму квадратів відхилень:

U = S =E^TE=(Y-XA)^T(Y-XA) = Y^TY-A^T X^TY-Y^TXA + A^TX^TXA =>

U = Y^TY - 2A^TXTY + A^TX^TXA

Диференціюючи по А і прирівнюючи отриману похідну до нуля, одержуємо

du/dA=-2X^TY+2(X^TX)A=0

звідси: X^TY=X^TXA=(X^TX)^-1(X^TY) (4.13)

Таким чином, матриця параметрів моделі рівняння множинної регресії, що забезпечують мінімум СКО, може бути отримана безпосередньо з експериментальних даних.

Конкретизуємо величини, що входять до формули (4.13):

1,X₁₁,X₁₂,…X_1m

1,X₂₁,X₂₂,…X_2m

X= ……………..

1,X_n1,X_n2,…X_nm

тобто кожен рядок являє собою вибірку т незалежних змінних, крім x₀=l=const.

n, SX_i1,… SX_im

SX_i1, SX_i1².. SX_i1X_im

XX^T= ……………..

SX_im,SX_i1X_im,…SX_1m²

SY_i

SY_iX_i1

X^TY= ……

SY_iX_im

Підсумовування кожного елемента зазначеного в матриці здійснюється по кількості спостережень N.