Поиск оптимума

Основной целью экстремальных экспериментов является нахождение наилучших (оптимальных) решений по выбранному критерию (параметру оптимизации). Для этого задается некоторый критерий оптимизации в виде целевой функции y, зависящий от управляемых параметров (факторов варьирования)

.

Задача оптимизации сводится к отыскиванию таких значений параметров , при которых целевая функция достигает экстремума (максимума или минимума). Будем считать оптимальным максимальное значение параметра оптимизации. Зависимость образует некоторую поверхность в (k+1) мерном пространстве , которую называют поверхностью отклика, а значение y в точках факторного пространства – откликом.

Если бы поверхность отклика можно было описать в аналитической форме в виде приведенной функции, то координаты точки экстремума можно найти, решив систему дифференциальных уравнений вида

, где i = 1,2,…,k.

Решением системы является экстремальная точка (или «стационарная точка»), в которой градиент функции у обращается в нуль

,

где – направляющий вектор координатной оси x_i.

Однако в большинстве случаев экспериментальных исследований аналитическая функция «у» неизвестна. Исследователь имеет возможность только экспериментально получить значение отклика при некоторой комбинации варьируемых факторов . Полученное экспериментально значение отклика y_э всегда содержит случайную ошибку, т.е. оно будет отличаться от истинного значения y_i на величину случайной ошибки опыта

.

Таким образом, задача оптимизации может быть решена двумя методами.

1) Каким-либо способом строиться математическая модель и задача решается аналитически или численным способом.

2) Поиск экстремальной («стационарной») точки в факторном пространстве проводится экспериментально. При этом осуществляется локальное изучение поверхности отклика по результатам ряда экспериментов, специально спланированных вблизи выбранной точки. Экспериментальное значение отклика находится путем многократной исследовательской процедуры изучения поверхности отклика и продвижения в факторном пространстве. Для движения к оптимуму широко используется шаговый принцип, при котором строится математическая модель поверхности отклика и движение по факторному пространству осуществляется шагами с периодической оценкой правильности направления движения. Предполагается, что поверхность отклика гладкая, непрерывная и на ней имеется единственный оптимум. В этом случае, проводя ряд экспериментов, можно установить направление дальнейшего движения к оптимуму.

Известны несколько методов экспериментального поиска оптимума, различающихся способом определения направления движения и организацией самого движения. Рассмотрим наиболее широко применяемые экспериментальные методы.