Метод крутого восхождения

Математическая модель, полученная в результате факторного планирования эксперимента, может успешно применяться только тогда, когда она описывает поверхность отклика, близкую к «стационарной» области (вблизи максимума или минимума). Поиск оптимума путем проведения однофакторных экспериментов (поочередно изменяется только одно переменное, а все остальные фиксируются на определенном уровне) имеет тот недостаток, что в общем случае может не привести к оптимальному результату. Полученные локальные оптимумы по каждому фактору не учитывают эффекты взаимодействия факторов в реальном процессе. Кроме того, при определенной форме поверхности отклика поочередное изменение факторов может привести к ошибке в определении экстремума.

0

Рис.21. Схема локального (A_h) и глобального (A^m) экстремума

Как видно из рис.21, изменение факторов x₁ и x₂ в любую сторону от точки A_h вызывает уменьшение (или увеличение) у. Создается впечатление, что точка A_h соответствует экстремуму. Действительный же экстремум находится в точке A^m, при бóльших значениях x₁ и x₂.

В 1951г. Бокс и Уилсон предложили новый метод решения задачи оптимального планирования экспериментов. Он объединяет существенные элементы метода Гаусса-Зайделя, градиентного метода и факторного планирования (ПФЭ или ДФЭ). При этом движение к оптимуму осуществляется по кратчайшему пути – в направлении максимального градиента функции отклика.

Представим, что человек с закрытыми глазами хочет пройти кратчайшим путем к вершине горы. Он будет делать пробные шаги в разные стороны, чтобы определить направление движения, и чем круче склон, тем меньший шаг нужно сделать. На вершине человек должен оценить ее крутизну, для чего необходимо поочередно сделать по шагу во все четыре стороны. Этот пример иллюстрирует процедуру поиска оптимума методом крутого восхождения по поверхности отклика в направлении градиента линейного приближения, который определяется реализацией плана ПФЭ или ДФЭ. При использовании метода крутого восхождения шаговое движение из точки совершается в направлении наискорейшего возрастания (или убывания) выходного параметра (т.е. по ). Однако в отличие от градиентного метода корректировка направления дальнейшего движения производится не после каждого следующего шага, а по достижению в некоторой точке на данном направлении частного экстремума целевой функции, аналогично методу Гауса-Зайделя. Важной особенностью процедуры метода Бокса-Уилсона является также регулярное проведение статистического анализа промежуточных результатов на пути к оптимуму.

Для поиска оптимума функцию отклика достаточно описать линейным уравнением регрессии, которое не отражает подробно поверхность, но позволяет определить направление движения. Естественно, что линейная модель должна отвечать условию адекватности.

Градиент непрерывной однозначной функции есть вектор, который определяется выражением

,

где – частные производные функции у по i-му фактору (i = 1,2,...,k),

– единичные векторы в направлении координатных осей факторного пространства.

В случае линейной модели частные производные равны коэффициентам уравнения регрессии при факторах.

Для движения по градиенту необходимо изменять факторы пропорционально соответствующим коэффициентам уравнения регрессии в ту сторону, в которую указывает знак коэффициента. В этом случае движение в направление градиента функции отклика будет приходить по кратчайшему («крутому») пути.

Пример. Крутое восхождение для одного фактора.

Рис.22. Графическая интерпретация метода крутого восхождения

для одного фактора.

.

В начале координат (х₁ = 0) , т.е. вектор-градиент функции у имеет длину, равную абсолютному значению коэффициента b₁. Его направление согласуется со знаком коэффициента b₁, т.е. при b₁ > 0 его направление совпадает с положительным направлением оси у, при b₁ < 0 – с отрицательным направлением оси y. Длина вектора-градиента равна абсолютному значению тангенса угла наклона α касательной к кривой по отношению к оси абсцисс (рис.22).

Приведем краткий вывод основных соотношений для движения в направлении градиента функции отклика

В начале координат вектор-градиент этой функции будет

.

Уравнение прямой линии в параметрической форме, проходящей в K-мерном факторном пространстве через начало координат в той же точке в направлении вектора-градиента, имеет вид

,

где i = 1,2,...,k.

Параметр «λ» определяет положение точки на этой прямой.

Кодированные переменные x_i связаны с натуральными переменными формулой

,

где – значение нижнего или верхнего уровня в натуральных единицах,

– значение основного уровня в натуральных единицах,

– единица масштаба в натуральных единицах.

С помощью указанного преобразования начало координат переносится в точку, соответствующую значениям основных (нулевых) уровней факторов, а сами значения факторов измеряются в новом масштабе (измерении). Тогда

; .

Это уравнение прямой в K-мерном пространстве натуральных переменных (факторов). Точки с координатами , удовлетворяющие этому уравнению, лежат на линии крутого восхождения.

Меняя значение параметра λ, можно найти координаты нескольких точек, лежащих на данной линии.

По приведенному выше уравнению отыскивается такая точка на прямой, которой отвечает максимальное значение у.

Схема крутого восхождения в двухфакторном эксперименте приведена на рис.20.

Рис.23. Крутое восхождение в двухфакторном эксперименте:

а) – эквипотенциальные сечения;

б) – сечение по .

Поиск экстремума по методу крутого восхождения выполняется в следующей последовательности

1) С центром в исходной точке проводится ПФЭ для определения .

Проводится статистический анализ результатов эксперимента, т.е.

а) проверка на воспроизводимость;

б) проверка значимости оценок коэффициентов b_i линейной модели;

в) проверка адекватности линейной модели

исследуемому процессу

2) Вычисляются произведения , где – шаг варьирования параметра x_i при ПФЭ. Фактор, для которого это произведение максимально, принимается за базовый, т.е.

.

3) Для базового фактора выбирается шаг варьирования с использованием коэффициента . Правильный выбор шага имеет важное значение как и при планировании эксперимента. Большой шаг увеличивает вероятность непопадания в оптимум, малый шаг увеличивает погрешность и трудоемкость эксперимента. Шаг движения выбирается таким, чтобы его минимальная величина была больше ошибки, с которой фиксируется фактор. Для первого шага в направлении крутого восхождения выбирается значение исходя из того, что можно оставить первый шаг или ввести более мелкий.

4) Определяют размеры крутого восхождения по остальным переменным процесса x_j (j ≠ i). Поскольку при движении по градиенту варьируемые параметры должны изменяться пропорционально коэффициенту (компонентам вектора grad (х),то соответствующие находят расчетом по формуле

,

где и – всегда положительны, а коэффициент b_j берется со своим знаком.

5) Производятся так называемые «мысленные опыты», которые заключаются в вычислении «предсказанных» значений выхода в определенных точках факторного пространства. Для этого независимые переменные линейной модели процесса изменяются с учетом таким образом, чтобы точка совершала шаговое движение в направлении вектора , определенного в пункте 1, занимая последовательно положения

Тогда j-я координата h-й точки будет

; j = 1,2,…,k

.

Для упрощения вычислений можно использовать выражение

; h =1,2,…,m

или рекурентное соотношение

; h =1,2,…,m

6) Мысленные опыты продолжаются до тех пор, пока не будет выполняться неравенство

,

где Y_max – максимально возможный выход, определяемый физическими соображениями.

7) Некоторые из мысленных опытов (через 2...3 мысленных шага) реализуются экспериментально для проверки соответствия аппроксимации процесса гиперплоскостью . Экспериментальные значения Y_эк. сравниваются с расчетными Y_пр. (предсказанными).

8) Точка , где в реальном опыте получено максимальное значение выхода, принимается за новую начальную точку, и цикл крутого восхождения повторяется. При этом для каждого последующего цикла выбирается равным или меньшим предыдущего значения, так как каждый цикл крутого восхождения приближает точку к области экстремума функции , где крутизна поверхности меньше.

9) Поиск прекращается, когда все коэффициенты b_i линейной модели процесса становятся незначимыми, что свидетельствует о выходе в область экстремума целевой функции. Следует заметить, что движение по градиенту будет эффективным тогда, когда коэффициенты b_i не сильно отличаются по величине. В противном случае на движение по градиенту будут влиять те факторы, абсолютные значения которых существенно превышают значения других факторов. Если один из коэффициентов резко выделяется, то движение по градиенту выродится в обычный однофакторный эксперимент. В таких случаях следует повторить эксперимент, уменьшив интервал варьирования данного фактора или увеличив интервалы других факторов. Рассчитав составляющие градиента, определяют новые условия проведения опытов. Решение о движение по градиенту можно принимать и при неадекватной модели, т.к. для этого необходимо знать только направление движения к области оптимума.

Пример. Оптимизировать геометрические параметры проходных резцов с пластинками твердого сплава ВК6 для операции точения стали 18ХНВА твердостью НВ 3200...3300 МПа. Режимы резания: V=100м/мин, S=0,1мм/об, t=2мм, обработка без СОЖ. φ – главный угол в плане, α – задний угол, γ – передний угол, φ₁ – вспомогательный угол, r –– радиус вершины резца.

Критерий оптимизации – максимальная стойкость. Для построения линейной матмодели, отражающей зависимость стойкости резцов от пяти указанных факторов, используем 1/4 реплики ПФЭ – 2⁵, т.е. дробный факторный эксперимент 2^5-2 . Априорно есть основание считать, что эффект фактора φ₁ можно приравнять к тройному взаимодействию факторов φ, α, γ, а фактора r – к двойному взаимодействию факторов φ, γ, т.к. эти взаимодействия статистически наименее значимы. Исходя из априорной информации, выбраны также основные уровни факторов и интервалы варьирования. Они приведены в таблице матрицы планирования. Эксперименты проводились без дублирования, их результаты представлены в таблице 14.

Таблица 14

№ опыта	Факторы						r, мм	Т, мин
Основной уровень Интервал варьирования Верхний уровень Нижний уровень				-5 -3 -7		0,5 0,2 0,7 0,3
Код факторов
		+	–	–	–	–	+
		+	+	–	–	+	–
		+	–	+	–	+	+
		+	+	+	–	–	–
		+	–	–	+	+	–
		+	+	–	+	–	+
		+	–	+	+	–	–
		+	+	+	+	+	+

Математическую модель строим в следующем виде

.

Значение коэффициентов линейной матмодели рассчитываем по формуле

,

,

,

,

,

,

.

Тогда .

Для оценки статистической значимости коэффициентов матмодели определим дисперсию и ошибку параметра оптимизации по результатам четырех дополнительных экспериментов в центре плана.

y_u1 = 19,8 мин; y_u2 = 20,4 мин; y_u3 = 19,3 мин; y_u4 = 20,1 мин.

Тогда ,

;

Доверительный интервал коэффициентов матмодели при 5% уровне значимости и числе степеней свободы f = 3 будет

.

Таким образом, все коэффициенты существенно больше доверительного интервала, т. е. статистически значимы. Матмодель можно использовать для движения к оптимуму методом крутого восхождения из центра плана (основного уровня). Для этого необходимо определить величину шага по каждому переменному фактору. За основной принимаем шаг по переменной (координате) х₂, т.к. для нее произведение максимально.

Шаг по остальным факторам определяется из соотношения

,

где – интервал варьирования x_i фактора,

– интервал варьирования фактора х₂,

– шаг основной (по фактору х₂), он не может быть больше интервала варьирования. Принимаем .

Тогда

; ;

; .

Округлим расчетные значения шагов, окончательно принимаем следующие их величины

; ; ; ; .

Условия и результаты опытов на лини крутого восхождения приведены в таблице 15.

Таблица 15

№ опыта	Факторы	Т, мин / уj
				r, мм / x5
Основной уровень			-5		0,5
Шаг				-1	0,1
N9			-4		0,6
N10			-3		0,7	. 41
N11			-2		0,8
N12			-1		0,9
N13					1,0

Таким образом, оптимальными геометрическими параметрами режущей части проходных резцов являются: ; ; ; ; r = 0,8мм.

Если из априорной информации можно предполагать, что область оптимума не достигнута, то эксперимент продолжается. Условия лучшего опыта принимаются за центр нового плана, проводятся эксперименты, вычисляются коэффициенты линейной матмодели и проводится крутое восхождение.

Следует обратить внимание на то, что при поиске оптимума методом крутого восхождения задача успешно может быть решена путем использования линейного уравнения регрессии, которое может не отвечать условию адекватности по критерию Фишера. Главное требование к математической модели состоит в том, чтобы она указывала правильное направление движения к оптимуму.