Симплексный метод

Рассмотренные выше шаговые методы оптимизации включают в себя пробные движения для установления направления и скорости движения, а также рабочие движения к экстремуму.

Симплексный метод поиска оптимума совершает эти два движения за счет того, что эксперименты ставятся только в точках факторного пространства, соответствующих вершинам симплекса.

Симплекс (от латинского simplex – простой) – простейший выпуклый многогранник данного числа измерения (K). При K = 0 – симплекс называют нульмерным, при K = 1 – симплекс одномерный, при K = 2 – симплекс двухмерный, при K = 3 – симплекс трехмерный и т.д.

Число вершин симплекса на 1 превосходит размерность факторного пространства. В зависимости от числа факторов (K) в качестве симплексов используют следующие фигуры:

1) при K = 1 – отрезок прямой,

2) при K = 2 – равносторонний треугольник,

3) при K = 3 – правильный 4-х гранник (тетраэдр),

4) при K > 3 – правильный гипертетраэдр в K-мерном пространстве.

В основе использования симплекса для поиска оптимума лежит следующее его важное свойство: из любого симплекса можно, отбросив одну из вершин и используя оставшуюся грань, получить новый симплекс, добавив только одну точку. Суть симплексного метода состоит в том, что по результатам предыдущих опытов выбирается такое направление последующих опытов, которые улучшают значение отклика. При этом точки плана эксперимента выбираются в вершинах симплекса. Путем последовательного отбрасывания вершин осуществляется перемещение симплекса в факторном пространстве после каждого эксперимента.

Если выполнить эксперименты в вершинах симплекса, то направление максимально крутого подъема поверхности отклика будет проходить из центра симплекса через грань, противоположную вершине с минимальным значением . Поэтому для продвижения к экстремуму нужно перейти от исходного симплекса к симплексу, находящемуся в области более высокого значения отклика, путем отбрасывания вершины с минимальным значением выхода и построения регулярного симплекса с новой вершиной, являющейся зеркальным отображением отброшенной (в силу симметрии). Затем процесс отбрасывания вершины с минимальным откликом и построения нового симплекса повторяется. Таким образом, формируется цепочка симплексов, перемещающихся в факторном пространстве к экстремуму.

Рис.24. Симплексный метод для двухфакторного эксперимента.

На рисунке 24 показано движение симплекса к оптимуму для двухфакторной задачи. Алгоритм симплексного планирования состоит в следующем

1) Из априорной информации о процессе задается шаг варьирования (i=l,2,.. .,K) по каждому фактору X_i.

2) Задается безразмерное значение симплекса «ρ», т. е. расстояние между двумя вершинами, в единицах варьирования соответствующих переменных.

3) Выбирается ориентация начального симплекса, для чего одна из вершин помещается в исходную точку . Положение остальных вершин начального симплекса определяется с помощью векторов:

,

,

……………………………………...,

,

где

, .

Для двухфакторной задачи координаты вершин , , начального симплекса при и будут:

; ; .

Положение начального симплекса в факторном пространстве для этого случая показано на рисунке 25.

Рис.25. Положение начального симплекса

в двухфакторном пространстве.

4) Реализуется эксперимент в вершинах симплекса, т. е. при значениях варьируемых факторов x_i, соответствующих координатам вершин C₁,C₂,…,C_k+1. Фиксируются значения отклика y_li в соответствующих точках (l – номер симплекса, i – номер вершины 1-го симплекса).

5) Точка C_j с минимальным значением отклика отбрасывается и находится вершина C_l+1,j следующего симплекса как зеркальное отображение C_l,j относительно оставшейся грани.

Координаты точки C_l,j обозначаются x_l,j,i (где i=l,2,...,K) и вычисляются по формуле

.

Если одинаковое минимальное значение отклика окажется в двух вершинах симплекса, то решение о дальнейшем движении симплекса принимается случайным образом (например, бросанием монеты).

6) Проводится эксперимент в вершине С_l+1,j нового симплекса С_l+1,1; С_l+1,2; С_l+1,3;...;С_l+1,k+1 и его результаты y_l+1,j сопоставляются со значениями отклика в остальных вершинах. Повторяется процедура отбрасывания вершины с минимальным откликом.

Если значение отклика y_l+1,j в новой вершине снова окажется минимальным, то возвращаются к исходному симплексу и отбрасывается вершина со следующим по порядку минимальным значением отклика.

7) Признаком выхода в район оптимума служит прекращение поступательного движения симплекса. Он начинает вращаться вокруг одной из вершин. Это может происходить в двух случаях:

а) в результате влияния ошибок эксперимента в указанной точке получится более высокий отклик. Повторный эксперимент проясняет картину и поиск экстремума продолжается в прежней последовательности.

б) данная вершина находится в непосредственной близости от точки экстремума. Повторный эксперимент в сомнительной точке показывает самое высокое значение отклика. Поиск прекращается.

Пример. Оптимизировать режимы резания (скорость резания и подачу) при сверлении отверстий диаметром 0,7мм на глубину 2,8мм в стали 18ХНВА сверлом из стали Р18 с охлаждением.

Двухмерный симплекс представим в виде равностороннего треугольника с вершинами 1,2,3 (рис.23), расстояние между которыми (сторону треугольника) примем за 1 (безразмерную единицу варьирования). Тогда высота симплекса будет равна .

Исходя из априорной информации, установим базовые (нулевые) значения частоты вращения (а значит и скорости резания) и подачи, а также интервалы варьирования (таблица 16). За базовые примем минимальные значения частоты вращения и подачи с учетом производительности и условий стружкообразования.

Таблица 16

Координаты вершины нового симплекса в кодовых значениях находятся по формуле

,

где – координаты новой вершины, которая является зеркальным отображением отбрасываемой вершины;

– координаты отбрасываемой вершины;

– среднее значение координат всех точек симплекса, кроме отбрасываемой.

Последовательность движения симплекса и результаты экспериментов приведены в таблице 17, а схема движения симплекса на рисунке 26.

Рис.26. Схема движения симплекса.

Таблица 17

№ опыта	Симплекс	Точка опыта (вершина)	Частота вращения	Подача x2	Количество просверленных отверстий
код	n, об/мин	код	S, мм/об
	1-2-3					0,003
	1-2-3		0,5		0,866	0,004
	1-2-3		1,0			0,003
	2-3-4		1,5		0,866	0,004
	2-4-5		1,0		1,732	0,005
	4-5-6		2,0		1,732	0,005
	5-6-7		1,5		2,598	0,006
	4-6-8		2,5		0,866	0,004
	6-8-9		3,0		1,732	0,005
	6-9-10		2,5		2,598	0,006

Эксперименты в вершинах исходного симплекса показали, что наихудшие результаты получены в точке 1. Отбрасывая вершину 1 и поворачивая треугольный симплекс вокруг стороны 2-3, получаем вершину 4.

Ее координаты в кодовых единицах будут

;

Значение факторов в натуральных и кодовых единицах связаны зависимостью

;

где – кодовое (в единицах симплекса) значение фактора;

– натуральное значение фактора;

– интервал варьирования фактора .

Для точки 4 натуральные значения факторов будут

мм/об;

об/мин.

Сверление на этих режимах позволило обработать 123 отверстия. В симплексе 2-3-4 наихудшие результаты получены в вершине 3, которую отбрасываем, поворачиваем треугольник вокруг стороны 2-4 и получаем вершину 5 с координатами (1;1,732) в кодовых единицах. В натуральных единицах они будут равны n₅ = 4050 об/мин; s₅ = 0,005 мм/об.

На указанных режимах получено 137 отверстий. Условия опыта 6 получены путем отбрасывания вершины 2 и «опрокидывания» треугольника вокруг стороны 4-5 (n₆ = 6050 об/мин; s = 0,005 мм/об). Результат – 268 просверленных отверстий. Дальнейшее движение симплекса по факторному пространству видно из рисунка. При сверлении на режимах точки 7 получено только 42 отверстия. Поэтому условия опыта 8 целесообразно получить не отбрасыванием вершины в симплексе 5-6-7, а путем поворота симплекса 4-5-6 вокруг стороны 4-6. Результат опыта в точке 8 – 123 отверстия, в точке 9 – 233 отверстия и в точке 10 – 38 отверстий. Таким образом, симплекс начал вращаться вокруг точки 6 («зациклился»). Это значит, что в некоторой области в зоне точки 6 находится оптимум (максимум) выходного параметра (количество просверленных отверстий). Соответствующие этой точке режимы (n₆ = 6050 об/мин; s₆ = 0,005 мм/об) являются оптимальными.