Метод градиента

При оптимизации процесса градиентным методом рабочее движение совершается в направлении наиболее быстрого возрастания или убывания выходного параметра, т.е. в направлении максимального (по абсолютной величине) градиента целевой функции . Направление движения корректируется после каждого рабочего шага (рис.20), т.е. каждый раз заново вычисляется значение вектора-градиента по результатам специально спланированных пробных экспериментов. Координатами вектора-градиента служат коэффициенты линейных членов разложения функции в ряд Тейлора по степеням . Соответствующие компоненты вектора-градиента могут быть получены, как коэффициенты линейной аппроксимации поверхности отклика вблизи исходной точки

0

Рис. 20. Метод градиента для двухфакторного процесса.

Для получения оценок линейных коэффициентов можно воспользоваться любым из известных способов экспериментального получения математической модели, например, реализовать ПФЭ с центром в точке .

Более простым, но менее точным, является способ определения коэффициентов по результатам двух пробных движений из точки в точки , т.е.

,

,

где – шаг варьирования.

Тогда соответствующий коэффициент найдется по формуле

;

где i = 1,2,...,k.

Процедура оптимизации методом градиента может быть следующая.

1) Задается шаг варьирования , единый для всех независимых переменных

2) Задается параметр рабочего шага .

3) В начальной точке реализуется пробный эксперимент для определения направления рабочего шага (вектор – ). Производится 2K измерений отклика в точках , т.е. находится , , , ,…, .

4) По результатам пробного эксперимента вычисляется вектор-градиент, а значит и коэффициент по формуле

i = 1,2,...,k

5) Совершается рабочий шаг в направлении градиента

.

6) В точке изложенная выше процедура повторяется, тогда в точке «h»

.

7) Поиск прекращается, когда модуль градиента «у» становится малой величиной

,

т.е. все коэффициенты b_i линейной математической модели получаются незначимыми.

Особенности градиентного метода:

1) Координаты вектора-градиента, т.е. коэффициенты b_i, определяются в каждой точке x_h с помощью экспериментального плана одного и того же размера .

2) Шаговое движение осуществляется при постоянном значении параметра рабочего шага . По мере приближения к точке экстремума длина шага итерации уменьшается за счет уменьшения величины .