Метод Гаусса-Зайделя. Этот метод базируется на принципе покоординатного восхождения, когда факторы изменяются поочередно и последовательно ищут локальные оптимумы на каждой из

Этот метод базируется на принципе покоординатного восхождения, когда факторы изменяются поочередно и последовательно ищут локальные оптимумы на каждой из координат. Переход к новой (i+1) координате совершаются по достижении частного экстремума целевой функции у на предыдущем направлении, например, в точке Х_h, в которой

.

Найдя частные экстремумы по всем координатам , снова переходят к варьированию первой (x₁), второй (x₂) и т.д. до (x_k) координат.

Характерной особенностью процесса является продолжительная стабилизация всех факторов, кроме одного, по которому происходит движение, на определенном уровне, т.е. фактически реализуется однофакторный эксперимент.

Направление движения вдоль (i+1)-й координатной оси выбирается по результатам двух пробных экспериментов и в окрестностях базовой точки частного экстремума по предыдущей i-й переменной.

Рассмотрим процедуру (алгоритм) поиска оптимума методом Гаусса-Зайделя на примере 2-х факторного процесса (рис.19).

Рис.19. Метод Гаусса-Зайделя для 2-х факторного процесса

1) Определяются координаты начальной точки X₁ движения к оптимуму (на основании априорной информации).

2) Задается шаг варьирования по каждой независимой переменной (фактору) .

3) Для установления направления движения в первом цикле (вдоль оси X₁) выполняются пробные эксперименты, пробное движение с центром в начальной точке X₁(h^*=1) вариацией параметра X₁ на и , т.е. выполняется два пробных шага в точке

;

.

Производится измерение откликов и в этих точках.

4) Отклики в пробных точках сравниваются и устанавливается характер изменения отклика.

5) Реализуется 1-й цикл рабочего движения с шагом в направлении
возрастания отклика , т.к. ищется область максимума. Координаты последовательных точек этого движения будут

,

где .

6) После каждого рабочего шага (эксперимента) проводится измерение значения отклика

7) 1-й цикл шагового движения прекращается по достижении в некоторой точке частного экстремума целевой функции по соответствующей переменной.

.

Критерием останова служит выполнение неравенства

.

8) Точка принимается за исходную для следующего цикла рабочего движения (по оси ) и базовой для новых пробных экспериментов в точках

;

.

Если в пробном движении по i-й переменной оба шага окажутся неудачными, т.е. ; то переходят к варьированию следующим (i +1) параметром.

9) Дальнейшая процедура выбора направления и организация II-го, III-го (вновь по оси ) и дальнейших циклов движения аналогична описанному выше. Точка x в факторном пространстве занимает при этом последовательно следующие положения (координаты)

,

,

…………………….

,

или

.

10) После 2-го цикла рабочего движения переходят к третьему (вновь по ) и т.д. Поиск прекращается в точке , любое движение из которой приводит к уменьшению значения выходного параметра. Это будет точка экстремума целевой функции с точностью до максимального шага варьирования .