Оптимизация при наличии ограничений.

Рассмотренные выше экспериментально-статистические методы оптимизаци предусматривают планомерное изменение факторов варьирования (управляющих параметров) , пока не будет достигнут экстремум целевой функции в некоторой точке , т.е. . Однако при оптимизации конкретных технологических процессов и конструкций часто могут встречаться такие комбинации управляющих параметров, которые нежелательны по техническим или экономическим показателям.

Ограничение диапазона варьирования переменных связано, прежде всего, с тем, что в условиях реального технологического процесса (или объекта) наряду с целевой функцией имеется ряд контролируемых выходных параметров (где L = II,III,…,G), также зависящих от k-мерного вектора управляющих воздействий . Обычно аналитическая форма этих зависимостей, как и характер целевой функции , априори неизвестны и значения и в каждой точке факторного пространства могут быть определены только экспериментально. На значения контролируемых входных параметров обычно накладываются ограничения

; L = II,III,…,G, (1)

; L = II,III,…,G.

Входные параметры x_i также имеют ограничения

, i = 1,2,…,k. (2)

Ограничения (1) и (2) выделяют в факторном пространстве область допустимых значений вектора управляющих параметров . На рисунке 27 приведен пример формирования области допустимых значений для двухфакторного процесса.

Рис.27. Формирование области допустимых значений

для двухфакторного процесса.

Концентрические кривые показывают линии равных значений целевой функции, т.е. . Так как ограничения (1) задаются в виде неравенства , то в факторном пространстве им тоже соответствуют поверхности равных значений ; L = II,III,…,G (кривые со штриховкой на рис. 27). Поверхности ограничения, пересекаясь, выделяют в факторном пространстве область D_k допустимых значений со сложной конфигурацией.

Экстремальная точка может лежать не только внутри, но и за пределами допустимой области. В этом случае задача сводится к отысканию точки условного экстремума функции у_I на границе области допустимых значений D_k.

Задача оптимизации при наличии ограничений формулируется следующим образом: необходимо найти координаты максимума целевой функции на подмножестве всех , принадлежащих факторному пространству переменных процесса и удовлетворяющих условиям

; ; L = II,III,…,G (3)

т. е. найти .

Применение метода крутого восхождения для решения сформулированной задачи не может привести к положительным результатам, т. к. его алгоритм не учитывает наложенных на вход процесса ограничений. Как правило, при наличии ограничений движение по приходится сочетать с движением вдоль границы.

Рассмотрим процедуру эксперимента для нахождения точки в факторном пространстве двух переменных х₁ и х₂, отвечающую условиям

(4)

(5)

(6)

(7)

Ограничения (5) и (6) наложены непосредственно на значения варьируемых параметров, а ограничения (7) – на значения выходного показателя , которые определяются только из опыта.

На первом этапе поиска проводится полный факторный эксперимент с центром в начальной точке . Он проводится аналогично эксперименту при методе крутого восхождения. Но в отличие от последнего в экспериментальной точке измеряются не только значения целевой функции , но и контролируемого параметра .

Статистическая обработка результатов ПФЭ также выполняется по стандартной схеме, т. е. проверяется воспроизводимость опытов, значимость коэффициентов b₀, b₁, b₂ уравнения регрессии, адекватность линейной модели

(8)

Если при осуществлении факторного эксперимента ни в одной из пробных точек ограничения (5), (6) и (7) не были нарушены, то из центра планирования проводится крутое восхождение в направлении .

Для того чтобы величина градиента не зависела от скорости возрастания функции в точке , его составляющие следует пронормировать

; (9)

Затем, как обычно, рассчитывается траектория мысленного движения к оптимуму, и в некоторых точках этой траектории (обычно через 2-3 мысленных шага) проводится измерение отклика . При этом обязательно проверяется значение контролируемого параметра .

Крутое восхождение прекращается в следующих случаях

1. Если значение целевой функции проходит через экстремум и начинает убывать (при поиске максимального значения) или возрастать (при поиске минимального значения).

2. Если нарушается ограничение типа (7), тогда для корректировки направления движения ставится новый факторный эксперимент с центром в точке .

За новый центр планирования в первом случае принимается точка, где целевая функция имела экстремальное значение, во втором – последняя из точек факторного пространства, где был реализован мысленный опыт, и еще не нарушалось ограничение (7). Если причиной останова послужило нарушение ограничения (7), то следующий цикл крутого восхождения проводится по компромиссному направлению, которое выбирается таким образом, чтобы точка двигалась в сторону возрастания (или убывания) уровня выхода , одновременно удаляясь от границы внутрь области допустимых значений D_k, т.е.

, (10)

где – вектор, нормальный к эквипотенциальной поверхности (поверхности равного уровня) в точке и ведет в область допустимых значений (рис. 28).

Рис.28. Выбор компромисного направления.

Для формирования вектора наряду с гиперплоскостью (8) находится также уравнение линейной аппроксимации

(11)

и координаты вектора наиболее быстрого возрастания (или убывания) контролируемого параметра в точке .

(12)

Если в окрестностях точки нарушается ограничение

,

то вектор направлен внутрь допустимой области, если же нарушено условие

,

то он имеет направление из допустимой области.

Таким образом, после нормирования вектора получаем значение вектора

если если если

Следовательно, координаты искомого вектора будут

.

Далее траектория крутого восхождения находится так же, как и в случае, когда значение целевой функции проходит через точку экстремума. Если совершается движение в направлении или и нарушается условие (5) или (6), то соответствующий компонент вектора или при определении траектории мысленного движения приравнивается нулю и точка начинает двигаться вдоль ограничения.

Если после отбрасывания одной из составляющих и движения вдоль границы точка выходит на ограничение типа (7) или попадает в область, где одновременно выполняются условия (5) и (6), то снова проводится корректировка направления с помощью ПФЭ.

В процессе экспериментальной оптимизации точка не должна подходить к границам типа (5) и (6) ближе величины шага варьирования , т.е. практически вместо неравенств типа (5) и (6) следует использовать неравенства типа

, i = 1,2,…,k

Результатом применения описанной методики могут быть четыре случая, служащих сигналом окончания поиска:

1) В одном из очередных экспериментов , т. е. точка находится в окрестностях явного экстремума целевой функции.

2) и вектор . Этот случай соответствует условному экстремуму y_i на границе типа (7)

3) В некоторой точке нарушаются оба условия (5) и (6) и вектор ведет из допустимой области (условный экстремум находится в углу допустимой области)

4) После корректировки направления и точек, где одновременно нарушались ограничения (5), (6) и (7) уровень выхода y_I начинает уменьшаться (или увеличиваться). Условный экстремум находится в углу допустимой области Эти четыре случая указывают на то, что экстремальное значение целевой функции достигнуто. Однако в связи с тем, что при описанном выше алгоритме метода возможен выход на локальный экстремум, рекомендуется повторить поиске новой исходной точки.

Литература.

1. Алабужев Л.М. Теория подобия и размерностей / Л.М.Алабужев, В.Б.Геронибус, Л.М.Минкевич и др. – М.: Высшая школа, 1985.

2. Годлевский В.А. Введение в анализ экспериментальных данных. Учебное пособие – Иваново, 1993.

3. Гречишников В.А. Основы научных исследований в области проектирования и эксплуатации режущего инструмента /В.А.Гречишников, Н.В.Колесов, Е.В.Козлов.– М.:МОССТАНКИН, 1990.

4. Захарцев С.Н. Математическая статистика и планирование эксперимента в технологии машиностроения, ч.I,II – М. Издат. МГТУ им. Баумана, 1991.

5. Кане М.М. Основы научных исследований в технологии машиностроения, – Минск, Высшая школа, - 1987.

6. Кацев П.Г. Статистические методы исследования режущего инструмента. – М.,Машиностроение, - 1974.

7. Круг Г.К. Теоретические основы планирования экспериментальных исследований. Лабораторный практикум – М. МЭИ, 1969.

8. Крутов В.И. Основы научных исследований /В.И.Крутов, И.М.Грушко, В.В.Попов и др. – М.: Высшая школа, 1989.

9. Матевосов Л.М. Охрана промышленной собственности – М.: ИНИЦ Роспатента, 2003.

10. Налимов В.В., Статистические методы планирования экспериментов / В.В.Налимов, Н.А.Дернова – М.: Наука, 1995.

11. Селиванов С.Г. Инноватика /С.Г.Селиванов, М.Б.Гузаиров, А.А.Кутин. – М.: Машиностр., 2008. – 721с.

12. Силин С.С. Теория подобия в приложении к технологии машиностроения. – Ярославль, ЯПИ, 1989.

13. Спирин Н.А. Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента /Н.А.Спирин, В.В.Лавров, А.Н.Бондин и др. – Екатеринбург, 2003.

14. Шаламов В.Г. Математическое моделирование при резании металлов. – Челябинск, Челяб.ПИ, 1995.

15. Ящерицын П.И. Планирование эксперимента в машиностроении /П.И.Ящерицын, Е.И.Мехаринский, Справочное пособие. – Минск, Высшая школа, 1985.

Приложение 1

Информационно-поисковые системы и БД
российских и зарубежных патентных ведомств

1. Россия – данные WEB-сайт является частью WEB-сайта Роспатента и предназначен для обеспечения доступа к российским базам данных по изобретениям, полезным моделям и товарным знакам. Открыт свободный доступ к БД «Рефераты российских заявок и патентов на изобретения на русском языке 1994-2000гг.» (RUABEN), «Рефераты российских патентов на изобретения на английском языке 1994-2000гг.» (RUABEN). Полнотекстовые БД российских патентов на изобретения (RUPAT), БД полезных моделей (RUABU1) и БД товарных знаков (RUTM и WRUTM) предоставляются в доступ за плату. Для осуществления поиска используются два интерфейса: полный и сокращенный.

2. PCT – Patent Cooperation Treaty (PCT) System – содержит патенты с 1997г. по настоящее время, позволяет проводить бесплатный поиск и просмотр титульной страницы. Сайт принадлежит Всемирной организации интеллектуальной собственности (WIPO) http://petgazette.wipo.int/ и содержит библиографические данные, рефераты и рисунки патентов, опубликованных с 1 января 1997г.

3. GB and European patents – сайт http://gb.espacenet.com/ принадлежит Патентному бюро Великобритании и содержит библиографические данные и рисунки патентов Великобритании, опубликованные Патентным бюро Великобритании с 5 июня 1996г. База данных содержит также европейские патенты, мировые патенты (база данных PCT), японские патенты и патенты других стран. Присмотр рисунков возможен с использованием Adobe Acrobat 3.x.

4. Europ’s Network Patent Databases – esp@cent ­– сайт Европейского Патентного Бюро, содержит полные тексты европейских патентов с октября 1997г., а также национальные патенты европейских стран, мировые патенты, опубликованные Всемирной организации интеллектуальной собственности (WIPO) с ноября 1997г., японские патенты с 1980г. и приложения патентов, опубликованных в более чем 50 странах мира. Сайт http://ep.espacenet/com/.

5. IBM Patent Search – поддерживается IBM – International Business Machines Corporation, содержит патенты США с 1971г. и неполные данные по патентам предыдущих годов, патенты Европейского Патентного Бюро (EPO) с 1979г. и патенты Patent Cooperation Treaty (PCT) с 1997г. Сайт http://www.patents.ibm.com/, на нем доступны заявки и титульные страницы.

6. USPTO Web Patent Database – содержит полные тексты и рисунки патентов США с 1976г. по настоящее время. Бесплатный поиск и доступ к полному тексту может быть проведен по номеру патента, ключевым словам названия и реферата, фамилии и другим полям. Сайт http://www.uspto.gov/patft/index.html поддерживается USPTO – Бюро Патентов и Торговых марок США.

7. US Patent and Trademark Office Official Gazette – официальный бюллетень Патентов и Торговых марок США, публикуется еженедельно с 1964г. по настоящее время для представления патентов, которые будут опубликованы, и торговых марок, которые будут зарегистрированы. Сайт http://www.uspto.gov/web/offices/com/sol/og/ позволяет проводить бесплатный поиск и просмотр.

8. PatentMiner – предоставляет возможность бесплатного поиска (регистрация обязательна) патентной библиографической информации, просмотра PDF-рисунков патентов США, поубликованных с 1970г. Эта БД поддерживает связь с рисунками патентов БД IBM Patent imag. и позволяет получить PDF-изображения патентов, включая рисунки (услуга платная). Сайт http://www.patentminer.com/LIVE/cgi-bin/pm.cgi управляется Manning and Napier Information Services.

9. STO’s Internet Patent Search System – база данных с 1970г. по настоящее время, поддерживается системой Source Translation and Optimization (STO), которая может быть использована для поиска по БД патентов и торговых марок США по всем годам с использованием классификационных классов USPTO или по номеру патента. Возможен просмотр рефератов патентов, опубликованных в период 1981-1989гг. Сайт http://metalab.unc.edu/patents/intropat.html.

10. Micro Patent WEB – он-лайновый бюллетень США (официальный бюллетень USPTO), который является частью сайта Micro Patent WEB, содержит полную суммарную информацию, включая рефераты, для каждого из 2500 новых патентов США, регистрируемых каждую неделю. Сайт http://www.micropat.com/og/front.html (платная база данных, но доступ к он-лайновому бюллетеню бесплатный).

11. БД патентов Великобритании – содержит библиографические данные и иллюстрации патентов Великобритании, опубликованных Патентным Бюро с 5 июня 1996г. В БД включены также национальные патенты государств – членов Европейского Патентного Бюро, европейские патенты, японские патенты, мировые патенты (БД PCT).