![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Рассмотрим пример построенияМатрица планирования эксперимента для двух факторов на двух уровнях Таблица 1
Предположим, что объектом исследования является реактор, в котором выход продукта у зависит от температуры х1и давления х2 в реакторе. Дополнительно известно, что изменение температуры от 60 до 80° С и давления от 1 до 1,5 атм изменяет выход продукта. Обозначим максимальные и минимальные значения факторов х1 и х2 символами + 1 и -1. Тогда все возможные комбинации факторов при варьировании на двух уровнях (минимальном и максимальном) будут определены четырьмя опытами. Такой план эксперимента принято записывать в виде матрицы планирования (табл. 22). Во второй графе таблицы приведены значения фиктивной переменной х0 (тождественно равной -1 +1), которая понадобится при вычислении свободного члена полинома. В первой строке таблицы спланирован первый опыт, когда факторам х1 и х2 придают максимальные значения; во второй строке — когда фактору х1 придают минимальное значение, а фактору — максимальное, и т. д. Оказывается подобное планирование имеет ряд достоинств и поэтому широко применяется для получения моделей. Например, пользуясь планом — табл. 1, можно после проведения эксперимента определить коэффициенты линейного уравнения регрессии
Сущность факторного эксперимента первого порядка состоит в одновременном варьировании всех факторов при его проведении по определенному плану, представлении математической модели (функции отклика) в виде линейного полинома и исследовании этой зависимости методами математической статистики. Уровнем фактора называют определенное значение фактора, которое будет фиксироваться при проведении эксперимента. В предыдущем примере уровнями факторов будут 60 и 80° С для фактора «температура», а также 1 и 1,5 атм— для фактора «давление». Уровнем факторов можно назвать и средние значения рассматриваемых интервалов, т. е. 70° С и 1,25 атм.
Рис 1 Геометрическая интерпретация области определения факторов L и Эти значения факторов называются нулевыми уровнями, они определяют некоторую точку факторного пространства, которая в предварительном эксперименте была оценена наилучшей по максимуму (или по минимуму) переменной состояния. Обозначим нулевой уровень i-го фактора, выраженного в натуральных единицах (в данном примере в °С и атм), через Интервал варьирования. Это такое значение фактора в натуральных единицах, прибавление которого к нулевому уровню дает верхний, а вычитание — нижний уровень фактора. Обозначим его Границы существования факторов- это экстремальные значения, которые могут принимать факторы, не меняя своих физико-химических свойств и не искажая сути исследуемого процесса, Область определения факторов (область L на рис. 1)- это интервал (Xmin Интервал варьирования факторов должен составлять часть области определения факторов, если решается задача оптимизации. Это необходимо для того, чтобы осуществить движение к оптимуму в области- определения факторов. На рис. 1 область проведения эксперимента обозначена буквой М. В задачах же аппроксимации (или интерполяции) интервал варьирования охватывает всю описываемую область, т. е. для двухфакторной задачи верхними уровнями факторов Х1 и Х2 являются Из определений следует, что областей М может быть несколько (в общем случае конечное множество). Можно также предположить несколько областей оптимума. Область определения факторов для данной задачи исследования одна. Обозначение верхних и нижних уровней факторов символами «+1», «—1» фактически соответствует кодированию факторов по формуле
Для рассмотренного примера (табл. 22) кодированные значения факторов (верхние и нижние уровни) следующие:
Рис.2. Геометрическая интерпретация плана 22 на плоскости Рис. 3. Геометрическая интерпретация плана 32 Кодирование факторов, по сути, означает переход от системы координат в натуральных единицах (рис. 2, а) к системе координат в кодированной форме (рис. 2, б). Каждая точка факторного пространства — (+1, +1), (—1, +1), В общем случае эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если каждый фактор варьируется на двух уровнях, то получается ПФЭ тина 2n. Для двух факторов (n = 2) число опытов N = 22 =4, что видно из табл. 1 и рис. 2. Можно осуществлять планирование эксперимента на трех уровнях (верхний, средний, нижний), тогда ПФЭ будет типа 3n и для n = 2 общее число опытов будет N = 32 = 9 см. рис. 3. Этот этап выделяют как этап принятия решений перед составлением плана эксперимента. Построение плана эксперимента начинают с выбора определяющих его характеристик. Обычно первой рассматривают область определения факторов. Область определения факторов фиксируется в предварительном эксперименте. Для этого используются результаты опытов и теоретические представления о процессе. Далее из области определения факторов выбором нулевых уровней и интервалов варьирования факторов выделяется часть области для планирования эксперимента (область М, рис. 1). Правильный выбор нулевых уровней (центра эксперимента) и интервалов варьирования факторов имеет решающее значение для действенности математической модели. Идеальным случаем при выборе нулевых уровней факторов является «попадание» центра эксперимента в область оптимальных значений переменной состояния. Но это возможно лишь при очень высоком уровне априорной информации. Если имеется некоторый опыт управления объектом исследования, можно принять в качестве нулевых уровней те величины факторов, которые дали наилучшее значение переменной состояния. Но это может привести к получению лишь локального оптимума при нескольких экстремумах функции отклика, Основное требование к интервалу варьирования состоит в том, чтобы он превышал удвоенную квадратическую ошибку фактора:
где Это требование связано с тем, что интервал между двумя соседними уровнями должен значимо (неслучайно) влиять на переменную состояния. Обычно интервал варьирования выбирается на основании априорной информации (или интуитивно) и затем уточняется (если он выбран неудачно) после получения математической модели. Повторение эксперимента, резко увеличивает число опытов. Удачный выбор интервала варьирования факторов гарантирует получение достоверной математической модели объекта. Определенные сведения о нулевых уровнях и интервалах варьирования получаются на этапе предварительного эксперимента. Пример 1. Рассмотрим процесс ионообменного разделения смесей группы редкоземельных элементов растворами иминодиуксусной кислоты. Переменная состояния—содержание (в %) неодима в выходном растворе. Предварительный эксперимент выделил два фактора — концентрацию (в вес. %) входного раствора Х1 и рН раствора Х2. Область определения фактора X1 находилась из следующих услови. Известно, что при X1 > 3 работать нельзя, так как это предел растворимости данного вещества при нормальной температуре. Таким образом, При выборе области определения Х2 исходили из теоретического положения, что ионообменное разделение происходит благодаря одновременному присутствию в системе двух соединений: моно- и ди-комплексов. Предварительный эксперимент показал, что при рН < 3 кислота находится в недиссоциированном состоянии, а при рН > 8 оба соединения разрушаются. Следовательно, В качестве нулевых уровней были приняты значения X10 = 1,5, Х20 = 7. В точке факторного пространства с такими координатами был получен наилучший результат предварительного эксперимента. Важно также то, что она лежит внутри области определения факторов.
Результаты предварительных опытов, явилось следующее: 1.точность фиксирования факторов средняя (по результатам ряда опытов); 2.поверхность отклика линейная (по однофакторным экспериментам); 3.диапазон изменения переменной состояния небольшой. Рослее предварительного эксперимента пришлось выбрать широкий (до 20% от области определения) интервал варьирования, чтобы его изменение было заметно по изменению переменной состояния: Построение матрицы планирования. План, содержащий запись всех комбинаций факторов или их части в кодированной форме, называется матрицей планирования. Табл. 1, например, является матрицей планирования для двух факторов на двух уровнях. Для построения матрицы планирования с большим числом факторов можно использовать следующий прием. Элементарное сочетание первого фактора (+1, —1) повторяется для каждого следующего фактора на верхнем и нижнем уровнях. Этот прием распространяется на построение матриц любой размерности. Столбец х0 — это столбец значений фиктивной переменной. Этот прием построения матриц планирования можно трактовать как прием чередования знаков. Действительно, в первом столбце знаки не меняются, во втором — меняются поочередно, в третьем — они чередуются через два, в четвертом — через 4 и т. д. (по показателям степеней двойки). Свойства матрицы планирования. Рассмотренные матрицы планирования обладают такими свойствами, которые позволяют считать, что их построение выполнялось оптимально с точки зрения получаемой но результатам реализации матрицы планирования математической модели. Если мы ищем модель в виде уравнения регрессии, то коэффициенты должны быть наилучшими и точность предсказания значений переменной состояния одинакова в любом направлении факторного пространства. Эти требования формулируются как условия ортогональности и рототабельности.
Симметричность относительного центра эксперимента - алгебраическая сумма элементов в вектор-столбце для каждого фактора равна 0
Условие нормировки–сумма квадратов элементов каждого столбцаравна числу опытов.
где n — число факторов; N —- число опытов (или строк матрицы планирования). Условие ортогональности предполагает равенство нулю суммы почленных произведении любых двух столбцов матрицы: Эти условия легко проверить по табл. 2. Действительно, полный факторный эксперимент типа 2" является ортогональным. Ортогональные планы ПФЭ (для линейных моделей) имеют также еще одно свойство — рототабельность. Рототабельность- предполагает равенство и минимальность дисперсии предсказанных значений переменной состояния для всех точек факторного пространства. По закону накопления ошибок можно записать для дисперсии предсказанных уравнением регрессии значений переменной состояния:
где Из условия (6) вытекает, что дисперсии коэффициентов регрессии равны между собой. Тогда можно записать:
Учитывая, что
Отсюда ясно, что дисперсия предсказанного значения выходной переменной зависит только от радиуса сферы. Это свойство рототабельностн эквивалентно независимости дисперсии выходной переменной от вращения координат в центре плана и оправдано при поиске оптимума градиентными методами..
|