Риск и доходность. Теория портфеля Марковица. Теорема разделения Тобина.

Особенность инвестиционных проектов состоит в том, что будущий денежный поток по ним не гарантирован, и всегда существует вероятность того, что фактический денежный поток может отклониться от ожидаемого. Чем выше риск, тем более доходным должен быть проект, чтобы компенсировать эту неопределенность. Таким образом, риск имеет свою цену, тем более, что в современной экономике риск является товаром, который продается/покупается на соответствующих рынках.

Портфельная теория Марковица - методика формирования инвестиционного портфеля, направленная на оптимальный выбор активов исходя из требуемого соотношения доходность/риск.

Для управления портфелем нужно знать его ожидаемую доходность и риск.

Ожидаемая доходность портфеля - это сумма доходностей ценных бумаг, входящих в портфель, умноженных на вероятности достижения каждой ценной бумагой данного уровня доходности.

µi – доходность i-ого актива

хi – доля i-ого актива в портфеле

Рискованность портфеля активов отражает дисперсия. Поскольку цены активов, входящих в портфель, изменяются независимо друг от друг, то дисперсию портфеля нельзя найти аналогичным образом, что и его доходность. Поэтому дисперсия портфеля рассчитывается следующим образом:

,

где ϭij – ковариация активов i и j. Ковариация служит для измерения степени совместной изменчивости двух активов. s_ij = r_ij∙s_i∙s_j.

Модель Марковица:

Целевая функция – минимизация риска портфеля.

Первое ограничение фиксирует желаемый уровень доходности.

Второе ограничение нормирует весовые коэффициенты портфеля (без ограничения на короткую позицию).

Варьируя ожидаемую доходность (μр) можно построить всю эффективную границу, т.е. скомбинировать заданный набор активов таким образом, чтобы любую заданную доходность получать с минимальным риском. Решение задачи Марковица позволяет получить множество минимальной дисперсии, которое будет отражать связь между ожидаемой доходностью портфеля и его риском.

µ

ϭ

Пуля Марковица – это набор портфелей с минимальной дисперсией.

Эффективная граница Марковица – это кривая, обозначающая максимальную доходность для данного уровня риска, которую можно добиться при всех возможных комбинациях активов, составляющих рыночный портфель. Графически – это верхняя часть кривой минимальной дисперсии.

Портфели, доходности которых располагаются на эффективной границе, называются эффективными (или рыночными) портфелями. Эффективная граница имеет форму пули потому, что в составе рыночного портфеля присутствуют активы с отрицательной корреляцией, например, акции и облигации.

Теорема сепарабельности Тоббина

Формирование портфеля обладает свойством сепарабельности.

Сепарабельность означает, что выбор портфеля можно разделить на две независимые задачи:

1. определение оптимального рискованного (рыночного) портфеля (это чисто техническая задача);

2. индивидуальный выбор наилучшего сочетания рыночного портфеля и безрискового актива.

Состав рыночного портфеля – это объективная составляющая портфельного выбора. Набор активов определяется с помощью решения задачи Марковица. Это проблема выбора эффективного портфеля. Когда состав эффективного портфеля определен, т.е. определена доля каждого актива, которую он занимает в общем рыночном портфеле, то для отдельных инвесторов самым разумным будет в своей портфельной политике имитировать по составу эффективный портфель.

Состав портфеля, включающего безрисковый актив, – это субъективная составляющая каждого индивидуального инвестора.

Включение безрискового актива приводит к изменению формы эффективной границы. Теперь эффективная граница принимает форму прямой. Она называется прямой рынка капитала (CML – capital market line).

Портфель, который включает безрисковый актив, должен иметь самую крутую линию рынка капитала. Только тогда на ней будут располагаться все доминирующие точки.