Закон Фурье. Коэффициент теплопроводности. Инженерное применение законов Фурье в теплотехнических расчетах.

Для передачи теплоты теплопроводностью необходимо в различных точках тела неравенство нулю температурного градиента. В соответствии с гипотезой Фурье количество теплоты dQ_τ [Дж], проходящее через элемент изотермической поверхности dF за время dτ пропорционально температурному градиенту ∂T/∂n. (1)

В уравнении λ характеризует способность вещества проводить теплоту и называется коэффициентом теплопроводности. Количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу площади изотермической поверхности [Вт/м²], называется плотностью теплового потока: (2)

(рис.1)

Вектор плотности теплового потока направлен по нормали к изотермической поверхности. Его направление совпадает с направлением убывания температуры. и grad T находятся на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Линии, касательные к которым совпадают с направлением вектора , называются линиями теплового тока (рис. 1.). Скалярная величина: .

Уравнения (1) и (2) являются математической

(рис.2) записью основного закона теплопроводности.
Количество теплоты, проходящее в единицу времени через изотермическую поверхность F, называется тепловым потоком, Q [Вт]: . Полное количество теплоты Q_τ [Дж], прошедшее через площадь F за время τ, будет: .

Плотность теплового потока, проходящего через элементарную площадь dF_l, расположенную под углом φ, к плоскости, касательной к изотермической поверхности, определяется по формуле: Полное количество теплоты, протекающее через элементарную площадку dF_l за время dτ, запишется: . Общее количество теплоты, протекающее за время dτ через поверхность dF_l : Если q спроектировать на оси координат, то: . Для определения количества теплоты, проходящего через какую-либо поверхность твердого тела, необходимо знать распределение температур внутри этого тела. Нахождение температурного поля и является главной задачей теории теплопроводности. Коэффициент теплопроводности: . Для большинства случаев с достаточной для практики точностью зависимость λ(T) можно принять линейной: , λ₀ – коэффициент теплопроводности при Т₀; b – постоянная, определяемая экспериментально.

Коэффициент теплопроводности газа: ; w – средняя скорость перемещения молекул; l – длина среднего пробега между соударениями; c_v – теплоемкость при V = const; ρ – плотность газа. С увеличением P ρ↑, l↓, а их произведение ≈ const. С увеличением T c_v↑, w↑ => λ↑.

, R_μ – универсальная газовая постоянная (= 8314 кДж/(кмоль·К)); μ – молекулярная масса газа. λ_газов = 0,006 – 0,6 Вт/(м·К).

Коэффициент теплопроводности жидкостей: ;

C_р – теплоемкость при Р = const; ρ – плотность жидкости; μ – молекулярная масса; А – коэффициент, пропорциональный скорости распространения упругих волн в жидкости, не зависящий от природы жидкостей, но зависит от температуры. При этом А∙C_р ≈ const. Если T↑ ρ↓ => λ_жид↓ (кроме воды и глицерина). λ_жид = 0,07 – 0,7 Вт/(м·К).

Коэффициент теплопроводности тв.тел: С увеличением Т λ чистых металлов ↓. Для сплавов, строительных и теплоизоляционных материалов с ↑Т λ↑.

Закон Фурье в теплотехнических расчетах используется, например, при расчете теплопередачи через плоскую стенку.

Теплопередача через плоскую стенку.

При стационарном тепловом режиме температура тела во времени остается постоянной, т.е. . При этом дифференциальное уравнение теплопроводности будет иметь вид: - коэф-т температуропроводности, [м²/с]; характеризует скорость изменения температуры в теле. λ характеризует способность тела проводить теплоту. Если система не содержит внутренних источников теплоты (q_v = 0), то уравнение предстанет в виде:или .

Граничные условия 1-го рода: Рассматриваем однородную и изотропную стенку толщиной δ с постоянным коэф-том теплопроводности λ. На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры: Т_с1, Т_с2 (рис. 3.). При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки – ось оx. В направлении осей оy и oz температура постоянна: . Диф.уравнение для этого случая будет:(*). Граничные условия: при х = 0 Т = Т_с1; при х = δ Т = Т_с2. В результате решения задачи должно быть найдено распределение температур в плоской стенке Т = f(x) для определения плотности теплового потока. В результате интегрирования уравнения (*), получим: .Для определения количества теплоты, проходящего через единицу поверхности стенкиединицу времени в направлении оси оx, воспользуемся законом Фурье: . Тогда: .