![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Вектор-потенциал и скалярный потенциалДля облегчения решений уравнений Максвелла вводятся вспомогательные функции: вектор-потенциал и скалярный потенциал. Одним из уравнений Максвелла, которое всегда выполняется, является
Это уравнение будет тождественно удовлетворяться, если положить
где Вектор Ограничимся рассмотрением сред, когда
Следовательно, для изотропной однородной среды не только
![]() ![]()
Так как Заметим, что как Действительно, если имеем поле вектора где где Из курса математики известно, что результатом градиента является вектор, который определяется следующим образом: а модуль этого вектора определяется: Следовательно, если мы нашли вектор Однако эта неоднозначность в определении вектора Чему должен удовлетворять вектор-потенциал Из первого уравнения Максвелла используя уравнение (1.59), получим:
т. е. Полученное уравнение будет выполняться при условии, если
так как где Знак минус выбран потому, что данное уравнение должно выполняться и для постоянного поля, когда т. е. известное из курса физики положение, что напряжённость электрического поля есть минус градиент потенциала. Следовательно,
![]() Определим условия, которым должны удовлетворять Если в этом уравнении заменить
![]() Напомним, что
![]() Теперь используем третье уравнение Максвелла
Применяя формулу (1.61) , получим: Но Следовательно, Теперь имеем скалярные уравнения (1.62) и (1.63). Правая часть этих уравнений проста. Однако уравнение (1.62) очень громоздко. Но если использовать неоднозначность определения
![]() Подставив (1.64) в уравнение (1.63), получим
![]() Соберём полученные результаты:
![]()
![]() При условии
![]() При этом векторы
![]() Уравнение (1.68) называется уравнением связи или калибровочным уравнением. Из данных выражений следует, что решение задачи об электромагнитном поле сводится к решению типового уравнения (1.66) или (1.67) при условии выполнения (1.68). Векторы Уравнения (1.66) и (1.67) относятся к известным уравнениям математики – типовым волновым неоднородным уравнениям. Решения этих уравнений разработаны. Совокупное решение (1.66 – 1.69) будет единственно возможным, если оно будет удовлетворять начальным и граничным условиям поставленной физической задачи.
Вопрос 9. 1.10. Волновые уравнения для векторов Рассмотрим волновые уравнения для случая однородной, изотропной среды. Даны уравнения Максвелла:
![]() Задача заключается в решении уравнений Максвелла. Преобразуем уравнения (1.57) таким образом, чтобы получить отдельно уравнение для Учитывая, что
Аналогично для
![]() Уравнение (1.58) есть волновое уравнение для вектора Правые части уравнений (1.58) и (1.59), которые выражаются через заданные функции Вспомогательными функциями бывают вектор-потенциал и скалярный потенциал, а также вектор Герца.
Вопрос 10.
|