КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Вектор-потенциал и скалярный потенциалДля облегчения решений уравнений Максвелла вводятся вспомогательные функции: вектор-потенциал и скалярный потенциал. Одним из уравнений Максвелла, которое всегда выполняется, является . Это уравнение будет тождественно удовлетворяться, если положить так как где – новый пока произвольный непрерывный и имеющий производные вектор. Вектор называется вектор-потенциалом и широко применяется в общих исследованиях электромагнитного поля. Ограничимся рассмотрением сред, когда являются постоянными, т. е. среда – изотропная, однородная. В этом случае т. е. Следовательно, для изотропной однородной среды не только но и
Так как то т. е. мы получаем электрический вектор-потенциал. Заметим, что как , так и вектор определяются неоднозначно. Действительно, если имеем поле вектора , то оно может быть представлено в виде где так как где – скалярная произвольная непрерывная функция, имеющая производные. Из курса математики известно, что результатом градиента является вектор, который определяется следующим образом: а модуль этого вектора определяется: Следовательно, если мы нашли вектор , удовлетворяющий уравнению (1.59), то всякий другой вектор тоже удовлетворяет уравнению (1.59). Однако эта неоднозначность в определении вектора делает его удобным для вычислений, так как мы можем наложить ряд условий на вектор-потенциал, чтобы упростить вычисления. Чему должен удовлетворять вектор-потенциал Из первого уравнения Максвелла используя уравнение (1.59), получим:
т. е. Полученное уравнение будет выполняться при условии, если , так как где – произвольная скалярная функция, которая называется электрическим скалярным потенциалом. Знак минус выбран потому, что данное уравнение должно выполняться и для постоянного поля, когда . В этом случае получаем т. е. известное из курса физики положение, что напряжённость электрического поля есть минус градиент потенциала. Следовательно,
Определим условия, которым должны удовлетворять и . Для этого используем второе уравнение Максвелла Если в этом уравнении заменить и по формулам (1.60) и (1.61), то получим:
Напомним, что – оператор Лапласа или лапласиан. Это скалярный дифференциальный оператор второго порядка;
– оператор Гальмитона или набла. Это векторный дифференциальный оператор первого порядка:
Теперь используем третье уравнение Максвелла или Применяя формулу (1.61) , получим: Но Следовательно, Теперь имеем скалярные уравнения (1.62) и (1.63). Правая часть этих уравнений проста. Однако уравнение (1.62) очень громоздко. Но если использовать неоднозначность определения , уравнение упрощается, а именно: налагается дополнительное условие в виде . Это равенство называется уравнением связи. Отсюда
Подставив (1.64) в уравнение (1.63), получим
Соберём полученные результаты:
При условии
При этом векторы и определяются по формулам
Уравнение (1.68) называется уравнением связи или калибровочным уравнением. Из данных выражений следует, что решение задачи об электромагнитном поле сводится к решению типового уравнения (1.66) или (1.67) при условии выполнения (1.68). Векторы и определяются по формулам (1.69). Уравнения (1.66) и (1.67) относятся к известным уравнениям математики – типовым волновым неоднородным уравнениям. Решения этих уравнений разработаны. Совокупное решение (1.66 – 1.69) будет единственно возможным, если оно будет удовлетворять начальным и граничным условиям поставленной физической задачи.
Вопрос 9. 1.10. Волновые уравнения для векторов Рассмотрим волновые уравнения для случая однородной, изотропной среды. Даны уравнения Максвелла:
Задача заключается в решении уравнений Максвелла. Преобразуем уравнения (1.57) таким образом, чтобы получить отдельно уравнение для и отдельно уравнение для [1,6]. Для этого возьмём от первого уравнения и, используя второе уравнение, получим: Учитывая, что соберём все члены, содержащие в левую часть, получим: (1.58) Аналогично для . Возьмём от второго уравнения и, используя первое, получим:
Уравнение (1.58) есть волновое уравнение для вектора , а (1.59) – волновое уравнение для вектора . Правые части уравнений (1.58) и (1.59), которые выражаются через заданные функции и , достаточно сложны. Непосредственное решение уравнений (1.58) и (1.59) встречает большие трудности. Для того чтобы облегчить решение этих уравнений, вводятся вспомогательный вектор и функция, так называемые электродинамические потенциалы. При этом уменьшается число уравнений, правая часть их упрощается. После определения вспомогательных функций и определения через них и , не нужно устанавливать соответствие между ними. Вспомогательными функциями бывают вектор-потенциал и скалярный потенциал, а также вектор Герца.
Вопрос 10.
|