Уравнение Эйлера в дифференциальной форме и его интегрирование.

Предположим, что в жидкости движется элементарный объем в форме параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz (см. рис. 2.38). На параллелепипед действуют поверхностные силы давления и массовые силы с проекциями X, Y, Z, отнесенными к единице массы. При движении объема возникают силы инерции. Проекции этих сил на оси координат, отнесенные к единице массы, равны соответственно:

Рис. 2.38. Схема равномерного движения объема жидкости

Рассмотрим условие равновесия сил, в проекции на ось х. Сила давления на левую грань – pdydz, на правую грань

–(p + )dydz,

где =Δp – изменение давления вдоль оси x.

Массовая сила равна Xρdxdydz. Уравнение равновесия запишется в виде

pdydz – (p + ) dydz + Xρdxdydz ρdxdydz = 0,

или

– dxdydz + Xρdxdydz ρdxdydz = 0.

Разделив каждый член уравнения на ρdxdydz, получим

X – .

Соответственно для осей и уравнение равновесия будет выглядеть следующим образом

Y – ,

Z – .

Объединив полученные уравнения, получим систему уравнений Эйлера:

X – ,

Y – ,

(2.42)

Z – .

Можно получить полный дифференциал уравнений Эйлера для установившегося движения, если рассматривать перемещение частиц жидкости вдоль линии тока. Для этого надо умножить каждое из уравнений системы на соответствующую проекцию элементарного перемещения частиц dx, dy, dz, и сложить их:

(Xdx + Ydy + Zdz) – – = 0.

Т.к. для установившегося течения линии тока совпадают с траекториями движения частиц, то

Тогда

= =

Для установившегося движения давление зависит только от координат, поэтому второй член уравнения есть полный дифференциал давления dp. Получим

(Xdx + Ydy + Zdz) – dp – = 0

(2.43)

Мы получили дифференциальное уравнение движения невязкой жидкости.

В поле силы тяжести

X = 0, Y = 0, Z = – g,

тогда уравнение запишется в следующем виде

– gdz – – = 0.

После интегрирования этого уравнения получаем (при ρ = const) уравнение

gz + + = const,

(2.44)

которое называется уравнением Бернулли для струйки невязкой жидкости.