Обратно, из (1.1.1) находим

х = х' + а,

у = у'+ b. (1.1.2)

Рис.1.2.1

Теперь рассмотрим поворот «новой системы» координат О'х'у' относительно «старой системы» Оху на некоторый уголa (рис.1.2.2), т.е.Ðх¢Ох = a считается положительным, если поворот осуществляется против часовой стрелки и отрицательный в противном случае. Определение. Поворотом осей координат называют такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Пусть угол b - угол между радиус-вектором точки М (r = OM) и осью Ох¢ ; тогда r, с учетом знака угла b, будет составлять с осью Ох угол

a +b. Тогда на основании формул (1.1) при любом расположении точки М имеем

.

А так как новые координаты точки М есть

, (1.1.3)

то тогда можно вернуться к старым координатам

. (1.1.4)

Теперь, если рассмотреть общий случай, когда новое начало координат есть точка О'(а,b) и ось О'х' образует с осью Ох угол a, то на основании формул (1.1.1) и (1.1.4) имеем

. (1.1.5)

При повороте системы относительно данной на угол -a, необходимо принять во внимание, что cos(-a) = cosa, sin(-a) = -sin(a), будем, соответственно иметь

, .